Gemischte Aufgaben zur Mengenlehre

$\mid A\cap B\mid =\mid \{2;3;5;7\}\mid =4\backslash left|A\backslash cap\; B\backslash right|=\backslash left|\backslash \{2;3;5;7\backslash \}\backslash right|=4$

$11$ ist keine Primzahl.

$\mid B\cap C\mid =\mid \{3\}\mid =1\backslash left|B\backslash cap\; C\backslash right|=\backslash left|\; \backslash \{3\; \backslash \}\; \backslash right|=1$

Die $33$ ist gleichzeitig eine Primzahl und durch $33$ teilbar. Alle anderen Zahlen, die durch $33$ teilbar sind, können keine Primzahlen mehr sein, da diese nicht teilbar sind.

$\mathrm{\mid }C\cap D\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\{|C\backslash cap\; D|=|\backslash \{$Zahlen, die durch $66$ teilbar sind$\}\mathrm{\mid }=\mathrm{\infty }\backslash \}|=\backslash infty$

$CC$ enthält alle Zahlen, die durch $33$ teilbar sind und $DD$ alle positiven Zahlen, die gerade, also durch $22$ teilbar sind.

Die Schnittmenge enthält also alle Zahlen, die durch $22$ und $33$, also $66$ teilbar sind.

Davon gibt es unendlich viele.

$\mid D\cap F\mid =\mid \mathrm{\varnothing }\mid =0\backslash left|D\backslash cap\; F\backslash right|=\backslash left|\backslash varnothing\backslash right|=0$

$DD$ enthält alle positiven geraden Zahlen, $FF$ alle ungeraden Zahlen bis $100100$.

Die Schnittmenge ist leer.

$\mid A\cup F\mid =\mid A\mid +\mid F\mid -\mid A\cap F\mid \backslash left|A\backslash cup\; F\backslash right|=\backslash left|A\backslash right|+\backslash left|F\backslash right|-\backslash left|A\backslash cap\; F\backslash right|$$=10+50-5=55=10+50-5=55$

Bestimmt man die Mächtigkeit einer Vereinigung, so werden die Elemente in der Schnittmenge mehrmals gezählt. Man muss die Mächtigkeit der Schnittmenge(n) deshalb noch subtrahieren.

$\mid A\times F\mid =\mid A\mid \cdot \mid F\mid =10\cdot 50=500\backslash left|A\backslash times\; F\backslash right|=\backslash left|A\backslash right|\backslash cdot\backslash left|F\backslash right|=10\backslash cdot50=500$

Die Anzahl aller Tupel $(\mathrm{x},\mathrm{y})\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{x}\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{y}\in \mathrm{F}\backslash left(\backslash mathrm\; x,\backslash mathrm\; y\backslash right)\backslash ;\backslash mathrm\{mit\}\backslash ;\backslash mathrm\; x\backslash in\backslash mathrm\; A\backslash ;\backslash mathrm\{und\}\backslash ;\backslash mathrm\; y\backslash in\backslash mathrm\; F$.

$\mid C\cap F\mid =\mid \{3;9;15;21;\dots ;99\}\mid =17\backslash left|C\backslash cap\; F\backslash right|=\backslash left|\backslash left\backslash \{3;9;15;21;\dots ;99\backslash right\backslash \}\backslash right|=17$

Gesucht ist die Anzahl der ungeraden Vielfachen von $33$ im Bereich $33$ bis $9999$.

3 hat dort $99:3=3399:3=33$ Vielfache. Jeder zweite ist gerade. Da mit $33$ und $9999$ die beiden Äußeren ungerade sind, ist die Lösung die aufgerundete Hälfte von $\frac{33}{2}\backslash frac\{33\}2$, also $1717$.

$\begin{array}{c}\mid \mathrm{B}\cap \mathrm{F}\mid =\\ =\mid \{3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37;41;43;47;53;59;61;67;71;73;79;83;89;97\}\mid \\ =24\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}\backslash left|\backslash mathrm\; B\backslash cap\backslash mathrm\; F\backslash right|=\backslash \backslash =\backslash left|\backslash left\backslash \{3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37;41;43;47;53;59;61;67;71;73;79;83;89;97\backslash right\backslash \}\backslash right|\backslash \backslash =24\backslash end\{array\}$

Hier hilft nur zählen.

$\mid A\cap G\mid =\mid \{2;5;3;6\}\mid =4\backslash left|A\backslash cap\; G\backslash right|=\backslash left|\backslash left\backslash \{2;5;3;6\backslash right\backslash \}\backslash right|=4$

$\mid A\cup G\mid =\mid A\mid +\mid G\mid -\mid A\cap G\mid =10+10-4=16\backslash left|A\backslash cup\; G\backslash right|=\backslash left|A\backslash right|+\backslash left|G\backslash right|-\backslash left|A\backslash cap\; G\backslash right|=10+10-4=16$

$GG$ enthält ein Element doppelt, deswegen hat $GG$ nur Mächtigkeit $1010$.

$\mid A\setminus G\mid =\mid A\mid -\mid A\cap G\mid \backslash left|A\backslash setminus\; G\backslash right|=\backslash left|A\backslash right|-\backslash left|A\backslash cap\; G\backslash right|$$=10-4=6=10-4=6$

$\mid G\setminus A\mid =\mid G\mid -\mid A\cap G\mid \backslash left|G\backslash setminus\; A\backslash right|=\backslash left|G\backslash right|-\backslash left|A\backslash cap\; G\backslash right|$$=10-4=6=10-4=6$

$\mid A\cap H\mid =\mathrm{\mid }\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\}\backslash left|A\backslash cap\; H\backslash right|=|\backslash left\backslash \{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\backslash right\backslash \}$$\cap \{\mathrm{"}1\mathrm{"};2;10\cdot k\text{mit}k\in \mathbb{Z}\}\mathrm{\mid }\backslash cap\backslash left\backslash \{"1";2;10\backslash cdot\; k\backslash ;\backslash text\{mit\}\backslash ;k\backslash in\backslash mathbb\{Z\}\backslash right\backslash \}|$$=\mid \{2;10\}\mid =2=\backslash left|\backslash left\backslash \{2;10\backslash right\backslash \}\backslash right|=2$

Das Element $\mathrm{"}1\mathrm{"}"1"$ ist nicht gleich mit dem Element $11$, weswegen keines der beiden in beiden Mengen enthalten ist.

Für $k=1k=1$ liegt $1010$ in $HH$ und deswegen auch in der Schnittmenge.

$\mid E\cap H\mid =\mid \left\{\mathrm{"}1\mathrm{"}\right\}\mid =1\backslash left|E\backslash cap\; H\backslash right|=\backslash left|\backslash left\backslash \{"1"\backslash right\backslash \}\backslash right|=1$

Nur das Element $\mathrm{"}1\mathrm{"}"1"$ liegt in beiden Mengen. Deshalb enthält der Schnitt nur ein Element.

$\mid A\cap E\mid =0\backslash left|A\backslash cap\; E\backslash right|=0$

$AA$ enthält Zahlen, $EE$ nur die Elemente $\mathrm{"}1\mathrm{"}"1"$, $\mathrm{"}2\mathrm{"}"2"$, $\mathrm{"}3\mathrm{"}"3"$, die keine Zahlen sind. Die Schnittmenge ist leer.

$\mid (A\cup E)\cap H\mid =\mid (A\cap H)\cup (E\cap H)\mid =\mid A\cap H\mid +\mid E\cap H\mid =3\backslash left|\backslash left(A\backslash cup\; E\backslash right)\backslash cap\; H\backslash right|=\backslash left|\backslash left(A\backslash cap\; H\backslash right)\backslash cup\backslash left(E\backslash cap\; H\backslash right)\backslash right|=\backslash left|A\backslash cap\; H\backslash right|+\backslash left|E\backslash cap\; H\backslash right|=3$

Der Schnitt von $AA$ und $EE$ ist leer, deswegen kann man die Mächtigkeit der Vereinigung auseinanderziehen.

Die beiden einzelnen Werte wurden schon bestimmt.

$\mid A\cup I\mid =\mid \{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;12;18;24;30;36;42\}\mid =16\backslash left|A\backslash cup\; I\backslash right|=\backslash left|\backslash left\backslash \{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;12;18;24;30;36;42\backslash right\backslash \}\backslash right|=16$

Alle Elemente aus $AA$ und die restlichen aus $II$.

$\mid C\cap I\mid =\mid I\mid =7\backslash left|C\backslash cap\; I\backslash right|=\backslash left|I\backslash right|=7$

Alle Elemente von $II$ sind in $CC$ enthalten, also ist die Schnittmenge wieder $II$.

$\mid G\cap I\mid =\mid \{6;12\}\mid =2\backslash left|G\backslash cap\; I\backslash right|=\backslash left|\backslash left\backslash \{6;12\backslash right\backslash \}\backslash right|=2$

$5454$ ist zwar auch durch $66$ teilbar, aber nicht in $II$ enthalten.

$\mid A\cup F\cup G\mid \backslash left|A\backslash cup\; F\backslash cup\; G\backslash right|$$=\mid A\mid +\mid F\mid +\mid G\mid -\mid A\cap F\mid -\mid A\cap G\mid -\mid F\cap G\mid +\mid A\cap F\cap G\mid =\backslash left|A\backslash right|+\backslash left|F\backslash right|+\backslash left|G\backslash right|-\backslash left|A\backslash cap\; F\backslash right|-\backslash left|A\backslash cap\; G\backslash right|-\backslash left|F\backslash cap\; G\backslash right|+\backslash left|A\backslash cap\; F\backslash cap\; G\backslash right|$$=10+50+10-5-4-6+2=57=10+50+10-5-4-6+2=57$

Zuerst addiert man die Anzahl der Elemente der einzelnen Mengen.

Dann subtrahiert man alle Elemente, die man mehrmals gezählt hat, also die Elemente in den Schnittmengen zweier Mengen.

Dann addiert man wieder die Elemente, die man zu oft subtrahiert hat. Die Elemente in der Schnittmenge aller Mengen wurden nämlich bisher $33$ mal addiert ($AA$, $FF$, $GG$) und $33$ mal subtrahiert ($A\cap F,A\cap G,F\cap GA\backslash cap\; F\backslash ;,\backslash ;A\backslash cap\; G\backslash ;,\backslash ;F\backslash cap\; G$)

$\mid H\cap I\mid =\mid \left\{30\right\}\mid =1\backslash left|H\backslash cap\; I\backslash right|=\backslash left|\backslash left\backslash \{30\backslash right\backslash \}\backslash right|=1$

In $II$ sind Vielfache von $66$ enthalten, und zwar $1\cdot 61\backslash cdot6$, $2\cdot 62\backslash cdot6$, …, $7\cdot 67\backslash cdot6$. Die Menge kann also auch als $I=\{6;12;18;24;30;36;42\}I=\backslash \{6;12;18;24;30;36;42\backslash \}$ geschrieben werden.

$\mathrm{"}1\mathrm{"}"1"$ und $22$ liegen nicht in $II$. Dass ein Vielfaches von 6 gleich einem Vielfachen von 10 ist, gilt in $II$ nur bei $3030$. Somit haben $HH$ und $II$ nur das gemeinsame Element $3030$.

$\text{A}\cap \text{B}\backslash text\; A\backslash cap\backslash text\; B$

Bestimme alle Elemente die sowohl in A als auch in B vorkommen.

$\{1;2;3;4;5\}\cap [2;5]\backslash \{1;2;3;4;5\backslash \}\backslash cap[2;5]$

Die Zahlen 2, 3, 4 und 5 kommen in A und B vor.

$\text{A}\cup \text{C}\backslash text\; A\backslash cup\backslash text\; C$

Alle Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind, sind auch in der Vereinigungsmenge enthalten.