Gemischte Aufgaben zur Mengenlehre
Hier findest du gemischte Aufgaben zur Mengenlehre. Du ĂŒbst unter anderem, wie du die MĂ€chtigkeit von Mengen bestimmst und lernst Teilmengen kennen.
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Gegeben sind die Mengen:
Bestimme die MĂ€chtigkeit folgender Mengen.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: MĂ€chtigkeit
ist keine Primzahl.
Die ist gleichzeitig eine Primzahl und durch teilbar. Alle anderen Zahlen, die durch teilbar sind, können keine Primzahlen mehr sein, da diese nicht teilbar sind.
Zahlen, die durch teilbar sind
enthÀlt alle Zahlen, die durch teilbar sind und alle positiven Zahlen, die gerade, also durch teilbar sind.
Die Schnittmenge enthÀlt also alle Zahlen, die durch und , also teilbar sind.
Davon gibt es unendlich viele.
enthÀlt alle positiven geraden Zahlen, alle ungeraden Zahlen bis .
Die Schnittmenge ist leer.
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FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: MĂ€chtigkeit
Bestimmt man die MÀchtigkeit einer Vereinigung, so werden die Elemente in der Schnittmenge mehrmals gezÀhlt. Man muss die MÀchtigkeit der Schnittmenge(n) deshalb noch subtrahieren.
Die Anzahl aller Tupel .
Gesucht ist die Anzahl der ungeraden Vielfachen von im Bereich bis .
3 hat dort Vielfache. Jeder zweite ist gerade. Da mit und die beiden ĂuĂeren ungerade sind, ist die Lösung die aufgerundete HĂ€lfte von , also .
Hier hilft nur zÀhlen.
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FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: MĂ€chtigkeit
enthÀlt ein Element doppelt, deswegen hat nur MÀchtigkeit .
Man kann erkennen, dass gilt, was logisch klingt, denn wenn man zuerst alle Elemente zÀhlt, die nur in vorkommen, dann alle, die nur in vorkommen und dann noch alle Elemente zÀhlt, die in beiden Mengen vorkommen erhÀlt man alle Elemente.
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FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: MĂ€chtigkeit
Das Element ist nicht gleich mit dem Element , weswegen keines der beiden in beiden Mengen enthalten ist.
FĂŒr liegt in und deswegen auch in der Schnittmenge.
Nur das Element liegt in beiden Mengen. Deshalb enthÀlt der Schnitt nur ein Element.
enthÀlt Zahlen, nur die Elemente , , , die keine Zahlen sind. Die Schnittmenge ist leer.
Der Schnitt von und ist leer, deswegen kann man die MĂ€chtigkeit der Vereinigung auseinanderziehen.
Die beiden einzelnen Werte wurden schon bestimmt.
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FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: MĂ€chtigkeit
Alle Elemente aus und die restlichen aus .
Alle Elemente von sind in enthalten, also ist die Schnittmenge wieder .
ist zwar auch durch teilbar, aber nicht in enthalten.
Zuerst addiert man die Anzahl der Elemente der einzelnen Mengen.
Dann subtrahiert man alle Elemente, die man mehrmals gezÀhlt hat, also die Elemente in den Schnittmengen zweier Mengen.
Dann addiert man wieder die Elemente, die man zu oft subtrahiert hat. Die Elemente in der Schnittmenge aller Mengen wurden nÀmlich bisher mal addiert (, , ) und mal subtrahiert ()
In sind Vielfache von enthalten, und zwar , , âŠ, . Die Menge kann also auch als geschrieben werden.
und liegen nicht in . Dass ein Vielfaches von 6 gleich einem Vielfachen von 10 ist, gilt in nur bei . Somit haben und nur das gemeinsame Element .
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- 2
Gegeben sind die fĂŒnf Mengen: .
Beurteile die folgenden Aussagen: a) b) c) d) e)
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Teilmengen
Teilaufgabe a)
Diese Aussage ist wahr, da alle Elemente von B auch in A enthalten sind.
Teilaufgabe b )
Diese Aussage ist falsch, da C die Zahl 24 enthĂ€lt, die Menge A enthĂ€lt diese aber nicht. AuĂerdem sind die beiden Mengen nicht gleichmĂ€chtig, deswegen ist eine unechte Teilmenge auch nicht möglich.
Teilaufgabe c)
Diese Aussage ist wahr, da alle Elemente von E auch in A enthalten sind.
Teilaufgabe d)
Diese Aussage ist falsch, da B und C nur die 17 als gemeinsames Element haben.
Teilaufgabe e)
Diese Aussage ist falsch, da die beiden Mengen nur die Zahl 12 als gemeinsames Element haben.
- 3
Gegeben sind die Mengen
Bestimme .
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittmenge
Bestimme alle Elemente die sowohl in A als auch in B vorkommen.
Die Zahlen 2, 3, 4 und 5 kommen in A und B vor.
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Bestimme .
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vereingungsmenge
Alle Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind, sind auch in der Vereinigungsmenge enthalten.
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Ist ?
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Teilmengen
Alle Elemente in B sind gröĂer gleich 2 und kleiner gleich 5. Also ist jedes Element aus B in D enthalten und somit .
Die Aussage ist wahr.
Da jedes Element, dass in D enthalten ist, auch ein Element von B ist, gilt sogar, und damit .
Das sieht man am Besten, wenn man die Elemente der Menge B und D aufzÀhlt:
und .
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Ist ?
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Teilmengen
PrĂŒfe ob alle Elemente in B auch in A enthalten sind.
Das ist nicht der Fall, denn in B ist zum Beispiel die Zahl 2,5 enthalten, die nicht in A enthalten ist.
Die aussage ist falsch.
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- 4
Berechne alle möglichen Partitionen der Menge
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Partition einer Menge
Die Menge A hat 5 verschiedene Partitionen:
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Entscheide ob die folgende Menge eine Partition der Menge ist!
a)
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Partition einer Menge
Die Menge ist eine Partition der ursprĂŒnglichen Menge, da jedes Element dieser Menge in der Partition einmal enthalten ist und in jeder Teilmenge der Partition auch nur einmal vorkommt.
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b)
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Partition einer Menge
Die Menge ist keine Partition der ursprĂŒnglichen Menge, da die die 40 in zwei Teilmengen der gegebenen Menge enthalten ist und das bei einer Partition nicht erlaubt ist.
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c)
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Partition einer Menge
Die Menge ist eine Partition der ursprĂŒnglichen Menge, da jedes Element genau in einer Menge enthalten ist und jedes Element in der Partition vorkommt.
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d)
Die Menge ist keine Partition der ursprĂŒnglichen Menge, da nicht alle Elemente der ursprĂŒnglichen Menge hier enthalten sind.
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