Aufgaben zur Diskussion von e-Funktionen

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=(x^2+x-5)\cdot e^x$ .

Bestimme alle Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von $f$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hoch- und Tiefpunkte berechnen

$f(x) = (x^2 + x - 5) \cdot e^x$

Zum Ableiten von $f (x)$ benötigst du die Produktregel:

Die Ableitung des ersten Faktors $x^{2} + x - 5$ ist:

\displaystyle (x^2+x-5)'=2x+1

Damit erhältst du für die gesamte Ableitung

\displaystyle f'(x) = (x^2+x-5) \cdot e^x + (2x+1) \cdot e^x \\ = (x^2+x-5+2x+1) \cdot e^x= (x^2+3x-4)\cdot e^x

Nun berechnest du die Nullstellen von f(x) , also die Lösung der Gleichung von $f^{'} (x) = 0$ :

$f^{'} (x) = 0$

$\Leftrightarrow e^x \cdot (x^2 + 3x -4) = 0$

Die linke Gleichungsseite ist genau dann gleich $0$ , wenn einer der beiden Faktoren des dortigen Produktes gleich $0$ ist.

Also $e^{x} = 0$ oder $ x^{2} + 3 x - 4 = 0$ .

Da die Exponentialfunktion $x \mapsto e^x$ nur positive Werte annimmt, gibt es für $e^{x} = 0$ keine Lösung. Löse also nun $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ .

Dies kannst du mit der PQ-Formel berechnen:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl} x_{1{,}2}&= -\frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2-(-4)}\\&= -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + 4}\\&= -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}}\\&= -\frac{3}{2} \pm \frac{5}{2} \end{array}

$\Rightarrow x_1=-\frac{3}{2} + \frac{5}{2}=1 \\ x_2=-\frac{3}{2} - \frac{5}{2}=-4$

$\Leftrightarrow x \in \{-4, 1\}$

Um nun herauszufinden, ob es sich bei diesen um Hoch- oder Tiefpunkte handelt, musst du sie in die zweite Ableitung von $f$ einsetzen. Dafür berechnest du zuerst $f^{''} (x)$ mit Hilfe der Produktregel:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c}f''(x) &=& (f'(x))' = (x^2 + 3x -4) \cdot e^x + (2x + 3) \cdot e^x \\f''(x)&=& (x^2+3x-4+2x+3) \cdot e^x = (x^2+5x-1) \cdot e^x \end{array}

Nun setzt du die Nullstellen der 1. Ableitung -4 und 1 in die zweite Ableitung ein.

$f''(-4) = ((-4)^2+5 \cdot (-4)-1) \cdot e^{-4} = (16 - 20 - 1) \cdot e^{-4} = -5 \cdot \underbrace {e^{-4}}_{>0} < 0$ ,

sowie

$f''(1) = (1^2+5 \cdot 1-1) \cdot e^{1} = (1 + 5 - 1) \cdot e = 5 \cdot \underbrace {e}_{>0} > 0$ .

Du siehst nun, dass an der Stelle $x = - 4$ der Graph von $f$ einen Hochpunkt und an der Stelle $x = 1$ einen Tiefpunkt hat.

Im Schaubild unten siehst du den Graphen von $f (x)$ gezeichnet (keine Sorge, dass war in der Aufgabe nicht verlangt ;-) ). Wie du siehst passen Hoch- und Tiefpunkt zum Graphen.

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