Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=(x2+x−5)⋅ex .
Bestimme alle Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von f.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hoch- und Tiefpunkte berechnen
f(x)=(x2+x−5)⋅ex
Zum Ableiten von f(x) benötigst du die Produktregel:
Die Ableitung des ersten Faktors x2+x−5 ist:
Damit erhältst du für die gesamte Ableitung
Nun berechnest du die Nullstellen von f(x) , also die Lösung der Gleichung von f′(x)=0:
f′(x)=0
⇔ex⋅(x2+3x−4)=0
Die linke Gleichungsseite ist genau dann gleich 0, wenn einer der beiden Faktoren des dortigen Produktes gleich 0 ist.
Also ex=0 oder x2+3x−4=0.
Da die Exponentialfunktion x↦ex nur positive Werte annimmt, gibt es für ex=0 keine Lösung. Löse also nun x2+3x−4=0.
⇔x∈{−4,1}
Um nun herauszufinden, ob es sich bei diesen um Hoch- oder Tiefpunkte handelt, musst du sie in die zweite Ableitung von f einsetzen. Dafür berechnest du zuerst f′′(x) mit Hilfe der Produktregel:
Nun setzt du die Nullstellen der 1. Ableitung -4 und 1 in die zweite Ableitung ein.
f′′(−4)=((−4)2+5⋅(−4)−1)⋅e−4=(16−20−1)⋅e−4=−5⋅>0e−4<0,
sowie
f′′(1)=(12+5⋅1−1)⋅e1=(1+5−1)⋅e=5⋅>0e>0.
Du siehst nun, dass an der Stelle x=−4 der Graph von f einen Hochpunkt und an der Stelle x=1 einen Tiefpunkt hat.
Im Schaubild unten siehst du den Graphen von f(x) gezeichnet (keine Sorge, dass war in der Aufgabe nicht verlangt ;-) ). Wie du siehst passen Hoch- und Tiefpunkt zum Graphen.
Berechne zuerst die Nullstellen der 1. Ableitung.
Überprüfe mithilfe der 2. Ableitung, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.
