Primzahlen sind natürliche Zahlen, die genau zwei Teiler haben, nämlich 1 und sich selbst.

Daher zählt die 1 nicht zu den Primzahlen.

Es gibt unendlich viele Primzahlen. Ein System, welche Zahlen Primzahlen sind, wurde bisher noch nicht gefunden.

Man verwendet Primzahlen häufig in der Kryptographie beim Verschlüsseln von Daten.

Die Primzahlen von 1 bis 100

Folgende Zahlen zwischen 1 und 100 sind prim:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 und 97.

Fakten über Primzahlen

  • Die 2 ist die einzige gerade Primzahl.

  • Jede natürliche Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben.     (Primfaktorzerlegung)

  • Wenn das Produkt zweier natürlicher Zahlen durch eine Primzahl teilbar ist, dann muss bereits eine der natürlichen Zahlen durch die Primzahl teilbar gewesen sein.

Verfahren zur Überprüfung, ob eine Zahl Primzahl ist

Wenn man eine Zahl gegeben hat und überprüfen soll, ob die gegebene Zahl eine Primzahl ist, ist die einfachste Methode zu versuchen sie der Reihe nach durch alle Primzahlen zu teilen.

Man testet also ob die Zahl durch 2 teilbar ist, dann durch 3, durch 5...

Wenn man bis zur Wurzel der gegebenen Zahl alle Primzahlen als Teiler ausgeschlossen hat, dann ist die Zahl  selbst eine Primzahl. Andernfalls nicht.

Natürlich verwendet man aber heute mit Computern auch andere Verfahren.    

Primfaktorzerlegung    

Artikel zum Thema

Als Primfaktorzerlegung bezeichnet man die Darstellung einer Zahl als Produkt von Primzahlen. Dazu verwendet man, dass sich jede natürliche Zahl eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen lässt.

Unendlichkeitsbeweis (Euklid)

Ausklappen 

Dass es unendlich viele Primzahlen gibt, bewies schon Euklid vor mehr als 2000 Jahren:

Die Argumentation beruht auf einem Widerspruchsbeweis:

Angenommen, es gibt nur endlich viele Primzahlen, und wir können eine vollständige Liste der Primzahlen angeben.

Dann lässt sich eine Primzahl konstruieren, die nicht in dieser Liste enthalten ist, indem man das Produkt aller Primzahlen nimmt und 1 addiert.

Das Ergebnis ist wieder eine Primzahl, da es durch keine Primzahl teilbar ist  (denn die sind ja alle in unserer Liste, und bei der Division durch ein Element der Liste erhalten wir immer Rest 1). Andererseits kann unsere neue Primzahl nicht in der als vollständig angenommenen Liste enthalten sein, da sie ja größer ist als alle Elemente der Liste. Die Annahme, es gebe nur endlich viele Primzahlen führt also zu einem Widerspruch.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Es gibt unendlich viele Primzahlen


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