Belegung von Variablen

Eine Variable mit einem Wert „belegen“ bedeutet, dass man

  • in den Term, in dem die Variable steht,

  • für die Variable eine Zahl einsetzt.

Wenn man alle Variablen eines Terms mit Zahlen belegt hat, enthält der Term nur noch Zahlen, und man kann seinen Wert ausrechnen.

Beispiel 1

Gegeben ist der Term „2x+182\cdot x+18“, der die Variable xx enthält. Diese Variable xx soll mit dem Wert 5050 belegt werden.

Lösung:

Der Term drückt Folgendes aus: "Verdopple die Zahl und zähle 18 dazu." In unserem Fall verwenden wir die Zahl 50.

Somit rechnest du:

250+18=100+18=1182\cdot 50 +18 = 100+18 =118

Beispiel 2 (Nachfolger und Vorgänger)

Für die Berechnung des Nachfolgers einer Zahl muss man einfach eins hinzuzählen. Das drückt man mit einem Term auf folgende Weise aus: „n+1n+1" (die Variable n belegt man hier mit einer natürliche Zahl).

Für n=7n=7 findest du beispielsweise mit dem obigen Term den Nachfolger der 7. Das ist natürlich 7+1=87+1=8.

Beim Vorgänger muss man entsprechend die Eins abziehen. Damit sieht der Term für den Voränger so aus: „n1n-1".

n=7n=7 liefert dir damit den Vorgänger der 77, also 71=67-1=6.

Beispiel 3 (gerade und ungerade Zahlen)

Der Term „2 n2\ \cdot n" liefert uns zu jeder natürlichen Zahl n, die n-te gerade Zahl.

Setzen wir n=1n=1 ein, erhalten wir tatsächlich mit 21=22\cdot1=2 die erste gerade Zahl.

Für n=9n=9 bekommst du beispielsweise als 9.-te gerade Zahl den Wert 29=182\cdot9=18.

Entsprechend erhalten wir mit dem Term „2 n12\ \cdot n-1" zu jeder natürlichen Zahl n die n-te ungerade Zahl.

Mit n=1n=1 kontrollieren wir dies wie oben durch Einsetzen: 211=21=12\cdot1-1=2-1=1 .

Für n=8n=8 erhalten wir 281=161=152\cdot8-1=16-1=15. Das ist tatsächlich die 8.-te ungerade Zahl.

Beispiel 4 (Quadratzahlen)

Mit dem Term „n2n^2" berechnest du zu jeder natürlichen Zahl n die zugehörige Quadratzahl. Auch das kann man leicht mit einem Beispiel nachrechnen:

Mit n=7n=7 bekommst du durch Einsetzen 72=77=497^2=7\cdot7=49.

Interessant:

  1. Mit dem Term „n2 + 2(n+1) 1n^2\ +\ 2\left(n+1\right)\ -1" addiert man zur n-ten Quadratzahl die (n+1)(n+1)ste ungerade Zahl. Dadurch erhält man die nächste Quadratzahl. Für n=7n=7 müssen wir somit zur 7.-ten Quadratzahl die 8.-te ungerade Zahl addieren: 72+2(7+1)1=77+281=49+15=647^2+2\cdot\left(7+1\right)-1=7\cdot7+2\cdot8-1=49+15=64.

  2. Der Unterschied zweier nebeneinander liegender Zahlen ist gerade ihre Summe. Die linke Seite dieser Gleichheit wird durch den Term (n+1)2n2(n+1)^2-n^2 beschrieben. Vereinfacht man ihn, so wird daraus (n+1)+n(n+1)+n (bzw. 2n+12n+1). Für n=7n=7 erhält man 8272=8+78^2-7^2=8+7.

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