Die Gleichung einer Tangente ist eine Geradengleichung:

$y=mx+ty=mx+t$

Die Tangente soll senkrecht zur Geraden $h:2y-3x+6=0h:2y-3x+6=0$ sein, stelle die Gleichung von $hh$ nun so um, dass du die Steigung ablesen kannst:

Die Steigung der Gerade $hh$ ist $m_h=\frac{3}{2}m\_h=\backslash frac32$.

Die Tangente soll senkrecht zur Geraden $hh$ sein.

Darüber hinaus muss im Berührpunkt der Tangente und der Funktion $ff$ die Steigung von $ff$ gleich $-\frac{2}{3}-\backslash frac23$ sein.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=6xf^\backslash prime(x)=6x$

Damit berechnen wir die $xx$-Koordinate des Berührpunktes $P(x\mid y)P(x\backslash mid\; y)$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=6x-{\displaystyle \frac{2}{3}}f^\backslash prime(x)=6x\backslash stackrel\{!\}\{=\}-\backslash dfrac23$

$\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{1}{9}}\backslash Rightarrow\; x=-\backslash dfrac19$

Außerdem liegt $P(-{\displaystyle \frac{1}{9}}\mid y)P(-\backslash dfrac19\backslash mid\; y)$ auf $ff$.

$f(-{\displaystyle \frac{1}{9}})=3\cdot {(-{\displaystyle \frac{1}{9}})}^2={\displaystyle \frac{1}{27}}f(-\backslash dfrac19)=3\backslash cdot\backslash left(-\backslash dfrac19\backslash right)^2=\backslash dfrac1\{27\}$

Also ist $P(-{\displaystyle \frac{1}{9}}\mid {\displaystyle \frac{1}{27}})P(-\backslash dfrac19\backslash mid\backslash dfrac1\{27\})$.

Bestimmen des $yy$-Achsen Abschnitts durch einsetzen von $PP$ in die Geradengleichung:

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Die Tangente ist gegeben durch die Gleichung