Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen (Projektionsverfahren)

Für das Projektionsverfahren muss die Ebene ggf. in die Hessesche-Normalenform

$\frac{1}{\mid \vec{n}\mid }\vec{n}[\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)]=0\backslash frac1\{\backslash left|\backslash vec\; n\backslash right|\}\backslash vec\; n\backslash left[\backslash begin\{pmatrix\}x\_1\backslash \backslash x\_2\backslash \backslash x\_3\backslash end\{pmatrix\}-\backslash begin\{pmatrix\}a\_1\backslash \backslash a\_2\backslash \backslash a\_3\backslash end\{pmatrix\}\backslash right]=0$  

oder

$\frac{n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_3{x}_3+d}{\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}}=0\backslash frac\{n\_1x\_1+n\_2x\_2+n\_3x\_3+d\}\{\backslash sqrt\{n\_1^2+n\_2^2+n\_3^2\}\}=0$

umgeformt und die Koordinaten des Punktes in diese Ebenengleichung eingesetzt werden.

Dieses Vorgehen lässt sich in folgender Formel zusammenfassen:

$d(P;E)=\frac{1}{\mid \vec{n}\mid }\vec{n}\circ [\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)]d(P;E)=\backslash frac\{1\}\{\backslash left|\backslash vec\; n\backslash right|\}\backslash vec\; n\; \backslash circ\; \backslash left[\; \backslash begin\{pmatrix\}p\_1\backslash \backslash p\_2\backslash \backslash p\_3\backslash end\{pmatrix\}-\backslash begin\{pmatrix\}a\_1\backslash \backslash a\_2\backslash \backslash a\_3\backslash end\{pmatrix\}\backslash right]$

oder

$d(P;E)=\frac{n_1{p}_1+n_2{p}_2+n_3{p}_3+d}{\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}}d\backslash left(P;E\backslash right)=\backslash frac\{n\_1p\_1+n\_2p\_2+n\_3p\_3+d\}\{\backslash sqrt\{n\_1^2+n\_2^2+n\_3^2\}\}$

Vorgehen am Beispiel

Gesucht ist der Abstand des Punktes $P(2\mathrm{\mid }2\mathrm{\mid }3)P(2|2|3)$ von der Ebene E mit der Gleichung $E:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)+k\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)+l\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)E:\backslash vec\; x=\backslash begin\{pmatrix\}0\backslash \backslash 0\backslash \backslash 4\backslash end\{pmatrix\}+k\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 0\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}+l\backslash begin\{pmatrix\}0\backslash \backslash 1\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}$.

Der Abstand von $PP$ zu $EE$ beträgt also genau $33$ Längeneinheiten.

Bedeutung der Betragsstriche

Durch Weglassen der Betragsstriche (d.h. Zulassen negativer Ergebnisse) in obiger Formel für $d(P;E)d(P;E)$ lässt sich ein sogenannter "orientierter Abstand" bestimmen. Anhand des Vorzeichens des ermittelten Abstands kann zusätzlich entschieden werden, auf welcher Seite der Ebene der Punkt $PP$ liegt. Hier gilt folgender Zusammenhang:

• $d(P;E)>0d(P;E)>0$: $PP$ liegt auf der Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt

• : $PP$ liegt auf der anderen Seite der Ebene