Um den Abstand d(P;E) eines Punktes %%P\left(p_1\left|p_2\right|p_3\right)%%  von einer Ebene E berechnen zu können, verwendet man das Projektionsverfahren. Dazu muss die Ebene ggf. in Hesse-Normalform %%\mathrm{HNF}(E):\frac1{\left|\vec n\right|}\vec n\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\right]=0%%  umgeformt und die Koordinaten des Punktes in diese Ebenengleichung eingesetzt werden.

Dieses Vorgehen lässt sich in folgender Formel zusammenfassen:

$$d(P;E)=\frac1{\left|\vec n\right|}\vec n\circ\left[\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\right]$$

Vorgehen am Beispiel

Gesucht ist der Abstand des Punktes P(2|2|3) von der Ebene E mit der Gleichung %%E:\vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+l\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}%%.

1) Die Ebene E liegt in Parameterform vor und muss deshalb zunächst in Hesse-Normalform umgeformt werden.

%%\mathrm{HNF}(E):\frac13\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}\right]=0%%

2 ) Einsetzen der Koordinaten von %%p_1,\;p_2\;\mathrm{und}\;p_3%% für %%x_1,\;x_2\;\mathrm{und}\;x_3%% ergibt den gesuchten Abstand von P zu E.

%%\begin{array}{l}d(P;E)=\left|\frac13\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}\right]\right|\\\;\;\;\;\;\;\;\;=\left|\frac13\left[-2\left(2-0\right)-2\left(2-0\right)+1\left(3-4\right)\right]\right|\\\;\;\;\;\;\;\;\;=\left|-3\right|\\\;\;\;\;\;\;\;\;=3\end{array}%%

Der Abstand von P zu E besträgt also genau 3 Längeneinheiten.

Bedeutung der Betragsstriche

Durch Weglassen der Betragsstriche (d.h. Zulassen negativer Ergebnisse) in obiger Formel für d(P;E) lässt sich ein sogenannter "orientierter Abstand" bestimmen. Anhand des Vorzeichens des ermittelten Abstands kann zusätzlich entschieden werden, auf welcher Seite der Ebene der Punkt P liegt. Hier gilt folgender Zusammenhang:

  • %%d(P;E)%%

  • %%d(P;E)>0%%: P liegt auf der anderen Seite der Ebene als der Ursprung 

Zur Erinnerung:

Eine Bedingung bei der Definition der Hesse-Normalform ist, dass  %%d(0;E)<0%% gilt.