Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

Zahlensysteme

Zu den Zahlensystemen gehören mehrere Stellenwertsysteme. Im Alltag verwendet man heute nahezu überall das Dezimalsystem. Doch gerade, wenn es um Technik geht, werden zwei andere Systeme wichtig: das Binär- und das Hexadezimalsystem.

Das Binärsystem (Dualsystem)

Das Binärsystem wird auch Dualsystem genannt. Um zwei gegensätzliche Zustände zu beschreiben (z.B. Strom an - Strom aus), werden oft die Symbole 00 und 11 verwendet. Diese Informationen kann ein Computer dann lesen und interpretieren. Beispielsweise der Prozessor eines Handys funktioniert auf Grundlage des Binärsystems.

Ja, Mathe ermöglicht die ganzen Funktionen, die ein Smartphone so bieten kann!

Das Binärsystem stellt Zahlenwerte mithilfe der Ziffern 00 und 11 dar. Es ist ein Stellenwertsystem, das die Basis 22 hat, die Stellenwerte betragen von rechts beginnend also 20,21,22,2^0{,}2^1{,}2^2,….

Eine Stellenwerttafel sieht im Binärsystem auch nicht so aus, wie man das aus der Grundschule kennt, sondern so:

Wert

232^3

222^2

212^1

202^0

9

1

0

0

1

Die Zahl 100121001_2 im Binärsystem hat also den Wert 99, denn 9=123+022+021+1209=1\cdot2^3+0\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0. Dieser Zusammenhang wird im folgenden Abschnitt genauer erklärt.

Umrechnen vom Binärsystem ins Dezimalsystem

Um eine Zahl vom Binärsystem ins Dezimalsystem umzurechnen, multipliziert man die Ziffer mit dem entsprechenden Stellenwert und addiert die Produkte.

Beispiel

Multipliziere die Ziffer mit dem darüber stehenden Wert.

Stellenwert

252^5

242^4

232^3

222^2

212^1

202^0

Ziffer

1

0

1

1

1

0

Schreibe (101110)2(101110)_2 als Summe:

1011102=125+024+123+122+121+020=32+0+8+4+2+0=46\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccccc}&1&0&1&1&1&0&_2\\=&1\cdot2^5+&0\cdot2^4+&1\cdot2^3+&1\cdot2^2+&1\cdot2^1+&0\cdot2^0\\=&32+&0+&8+&4+&2+&0\\=&46\end{array}

Umrechnen vom Dezimalsystem ins Binärsystem

Hat man eine Dezimalzahl gegeben, geht man nach folgendem Verfahren vor:

  1. Teile die Zahl mit Rest durch 22 und notiere den Rest.

  • Teile das Ergebnis wieder durch 22 und notiere den Rest.

  • Fahre fort, bis dein Ergebnis 00 ist.

  • Die gesuchte Binärzahl sind die Ziffern der Reste, wobei man mit dem letzten Rest beginnt.

Beispiel

Wir wollen 5959 als Binärzahl darstellen.

Beschreibung

Rechnung

Teile 5959 durch 22:

59:2=29  R  159:2=29  R  1

Weil 29029\neq0, teile 2929 durch 22:

29:2=14  R  129:2=14  R  1

Weil 14014\neq0 teile 1414 durch 22:

14:2=7  R  014:2=7  R  0

Weil 707\neq0 teile 77 durch 22:

7:2=3  R  17:2=3  R  1

Weil 303\neq0 teile 33 durch 22:

3:2=1  R  13:2=1  R  1

Weil 101\neq0 teile 11 durch 22:

1:2=0  R  11:2=0  R  1

Die Reste, unten beginnend, ergeben die gesuchte Zahl:

59=(111011)259=(111011)_2​

Das Hexadezimalsystem

"Hexadezimal" ist ein Mischwort aus dem griechischen hexa - sechs - und dem lateinischen decem - zehn. Das Hexadezimalsystem ist also ein Stellenwertsystem zur Basis 1616. Weil man 1616 Ziffern braucht, um Zahlen im Hexadezimalsystem auszudrücken, braucht man zusätzlich zu den Ziffern 00, 11, \dots, 99 noch weitere Symbole. Dies sind AA, BB, CC, DD, EE und FF.

Zusammenhang zwischen Binärsystem und Hexadezimalsystem

Das Hexadezimalsystem wird häufig in der Datenverarbeitung genutzt. Es ist praktisch, weil man Informationen, die im Binärsystem 88 Stellen bräuchten, mit nur 22 Stellen darstellen kann. Deswegen ist es viel schneller!

Die Umrechnung von diesen beiden Systemen ist relativ einfach, da 1616 selbst eine Zweierpotenz ist, nämlich 16=2416=2^4. Das bedeutet, je vier Ziffern im Binärsystem entsprechen einer Ziffer im Hexadezimalsystem!

(1000  0110)2=(1 0 0 0entspricht der Ziffer 8  0 1 1 0entspricht der Ziffer 6)2= (8  6)16\left(1000~~0110\right)_2=(\underbrace{1~0~0~0}_{\text{entspricht der Ziffer 8}} ~~ \underbrace{0~1~1~0}_{\text{entspricht der Ziffer 6}})_2 =~(8~~6)_{16}

Zahlenwert

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Hexadezimalsystem

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

Umrechnen vom Hexadezimalsystem ins Dezimalsystem

Man geht vor wie beim Binärsystem, nur dass hier die Basis 1616, die Stellenwerte also 160,161,16^0, 16^1,… sind.

Beispiel:

Schreibe (5D6A)16(5D6A)_{16} zur Basis 1616.

Multipliziere Ziffer und Stellenwert:

(5D6A)16=A160+6161+D162+5163(5D6A)_{16}= A\cdot16^0+6\cdot16^1+D\cdot16^2+5\cdot16^3

(5D6A)16=10160+6161+13162+5163\hphantom{(5D6A)_{16}}=10\cdot16^0+6\cdot16^1+13\cdot16^2+5\cdot16^3

Rechne aus:

(5D6A)16=10+96+3  328+20  480\hphantom{(5D6A)_{16}}=10+96+3\;328+20\;480

(5D6A)16=23  914\hphantom{(5D6A)_{16}}=23\;914

Umrechnen vom Dezimalsystem ins Hexadezimalsystem

Auch hier geht man vor wie beim Binärsystem. Man teilt jedoch nicht durch 22, sondern durch 1616:

Hat man eine Dezimalzahl gegeben, geht man nach folgendem Verfahren vor:

  • Teile die Zahl mit Rest durch 1616 und notiere den Rest.

  • Teile das Ergebnis wieder durch 1616 und notiere den Rest.

  • Fahre fort, bis dein Ergebnis 00 ist.

  • Die gesuchte Binärzahl sind die Ziffern der Reste, wobei man mit dem letzten Rest beginnt. Achtung: Denke daran, die Reste von 1010 bis 1515 in die Symbole AA bis FFumzuwandeln!

Beispiel

Stelle die Zahl 9823698236 im Hexadezimalsystem dar!

Beschreibung

Rechnung

Teile 9823698236 durch 1616:

98236:16=6139  R  12=C98236:16=6139 \;R\;12=C

Weil 613906139\neq0, teile 60776077 durch 1616:

6139:16=383  R  11=B6139:16=383 \;R\;11=B

Weil 3830383\neq0 teile 379379 durch 1616:

383:16=23  R  15=F383:16=23\;R\;15=F

Weil 23023\neq0 teile 2323 durch 1616:

23:16=1  R  723:16=1\;R\;7

Weil 101\neq0 teile 11 durch 1616:

1:16=0  R  11:16=0\;R\;1

Die Reste, unten beginnend, ergeben die gesuchte Zahl:

98236=(17FBC)1698236=(17FBC)16​

Du hast noch nicht genug vom Thema?

Hier findest du noch weitere passende Inhalte zum Thema:

Artikel


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0Was bedeutet das?