Zahlensysteme

Zu den Zahlensystemen gehören mehrere Stellenwertsysteme. Im Alltag verwendet man heute nahezu überall das Dezimalsystem. Doch gerade, wenn es um Technik geht, werden zwei andere Systeme wichtig: das Binär- und das Hexadezimalsystem.

Das Binärsystem (Dualsystem)

Das Binärsystem wird auch Dualsystem genannt. Um zwei gegensätzliche Zustände zu beschreiben (z.B. Strom an - Strom aus), werden oft die Symbole $0$ und $1$ verwendet. Diese Informationen kann ein Computer dann lesen und interpretieren. Beispielsweise der Prozessor eines Handys funktioniert auf Grundlage des Binärsystems.

Ja, Mathe ermöglicht die ganzen Funktionen, die ein Smartphone so bieten kann!

Das Binärsystem stellt Zahlenwerte mithilfe der Ziffern $0$ und $1$ dar. Es ist ein Stellenwertsystem, das die Basis $2$ hat, die Stellenwerte betragen von rechts beginnend also $2^{0} {,2}^{1} {,2}^{2}, \dots$ .

Eine Stellenwerttafel sieht im Binärsystem auch nicht so aus, wie man das aus der Grundschule kennt, sondern so:

Wert		$2^{3}$	$2^{2}$	$2^{1}$	$2^{0}$
9		1	0	0	1

Die Zahl $1001_{2}$ im Binärsystem hat also den Wert $9$ , denn $9 = 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}$ . Dieser Zusammenhang wird im folgenden Abschnitt genauer erklärt.

Umrechnen vom Binärsystem ins Dezimalsystem

Um eine Zahl vom Binärsystem ins Dezimalsystem umzurechnen, multipliziert man die Ziffer mit dem entsprechenden Stellenwert und addiert die Produkte.

Beispiel

Multipliziere die Ziffer mit dem darüber stehenden Wert.

Stellenwert	$2^{5}$	$2^{4}$	$2^{3}$	$2^{2}$	$2^{1}$	$2^{0}$
Ziffer	1	0	1	1	1	0

Schreibe $(101110)_{2}$ als Summe:

$\begin{array}{ccccccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & _{2} \\ = & 1 \cdot 2^{5} + & 0 \cdot 2^{4} + & 1 \cdot 2^{3} + & 1 \cdot 2^{2} + & 1 \cdot 2^{1} + & 0 \cdot 2^{0} \\ = & 32 + & 0 + & 8 + & 4 + & 2 + & 0 \\ = & 46 \end{array}$

Umrechnen vom Dezimalsystem ins Binärsystem

Hat man eine Dezimalzahl gegeben, geht man nach folgendem Verfahren vor:

Teile die Zahl mit Rest durch $2$ und notiere den Rest.

Teile das Ergebnis wieder durch $2$ und notiere den Rest.
Fahre fort, bis dein Ergebnis $0$ ist.
Die gesuchte Binärzahl sind die Ziffern der Reste, wobei man mit dem letzten Rest beginnt.

Beispiel

Wir wollen $59$ als Binärzahl darstellen.

Beschreibung	Rechnung
Teile $59$ durch $2$ :	$ 59 : 2 = 29 R 1$
Weil $29 \neq 0$ , teile $29$ durch $2$ :	$ 29 : 2 = 14 R 1$
Weil $14 \neq 0$ teile $14$ durch $2$ :	$ 14 : 2 = 7 R 0$
Weil $7 \neq 0$ teile $7$ durch $2$ :	$ 7 : 2 = 3 R 1$
Weil $3 \neq 0$ teile $3$ durch $2$ :	$ 3 : 2 = 1 R 1$
Weil $1 \neq 0$ teile $1$ durch $2$ :	$ 1 : 2 = 0 R 1$
Die Reste, unten beginnend, ergeben die gesuchte Zahl:	$ 59 = (111011)_{2} $

Das Hexadezimalsystem

"Hexadezimal" ist ein Mischwort aus dem griechischen hexa - sechs - und dem lateinischen decem - zehn. Das Hexadezimalsystem ist also ein Stellenwertsystem zur Basis $16$ . Weil man $16$ Ziffern braucht, um Zahlen im Hexadezimalsystem auszudrücken, braucht man zusätzlich zu den Ziffern $0$ , $1$ , $\dots$ , $9$ noch weitere Symbole. Dies sind $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ und $F$ .

Zusammenhang zwischen Binärsystem und Hexadezimalsystem

Das Hexadezimalsystem wird häufig in der Datenverarbeitung genutzt. Es ist praktisch, weil man Informationen, die im Binärsystem $8$ Stellen bräuchten, mit nur $2$ Stellen darstellen kann. Deswegen ist es viel schneller!

Die Umrechnung von diesen beiden Systemen ist relativ einfach, da $16$ selbst eine Zweierpotenz ist, nämlich $16 = 2^{4}$ . Das bedeutet, je vier Ziffern im Binärsystem entsprechen einer Ziffer im Hexadezimalsystem!

${(1000 0110)}_{2} = (\underset{entspricht der Ziffer 8}{\underset{⏟}{1 0 0 0}} \underset{entspricht der Ziffer 6}{\underset{⏟}{0 1 1 0}})_{2} = (8 6)_{16}$

Zahlenwert	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Hexadezimalsystem	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

Umrechnen vom Hexadezimalsystem ins Dezimalsystem

Man geht vor wie beim Binärsystem, nur dass hier die Basis $16$ , die Stellenwerte also $16^{0}, 16^{1}, \dots$ sind.

Beispiel:

Schreibe $(5 D 6 A)_{16}$ zur Basis $16$ .

Multipliziere Ziffer und Stellenwert:

$(5 D 6 A)_{16} = A \cdot 16^{0} + 6 \cdot 16^{1} + D \cdot 16^{2} + 5 \cdot 16^{3}$

$= 10 \cdot 16^{0} + 6 \cdot 16^{1} + 13 \cdot 16^{2} + 5 \cdot 16^{3}$

Rechne aus:

$= 10 + 96 + 3 328 + 20 480$

$= 23 914$

Umrechnen vom Dezimalsystem ins Hexadezimalsystem

Auch hier geht man vor wie beim Binärsystem. Man teilt jedoch nicht durch $2$ , sondern durch $16$ :

Hat man eine Dezimalzahl gegeben, geht man nach folgendem Verfahren vor:

Teile die Zahl mit Rest durch $16$ und notiere den Rest.
Teile das Ergebnis wieder durch $16$ und notiere den Rest.
Fahre fort, bis dein Ergebnis $0$ ist.
Die gesuchte Binärzahl sind die Ziffern der Reste, wobei man mit dem letzten Rest beginnt. Achtung: Denke daran, die Reste von $10$ bis $15$ in die Symbole $A$ bis $F$ umzuwandeln!

Beispiel

Stelle die Zahl $98236$ im Hexadezimalsystem dar!

Beschreibung	Rechnung
Teile $98236$ durch $16$ :	$98236 : 16 = 6139 R 12 = C$
Weil $6139 \neq 0$ , teile $6077$ durch $16$ :	$6139 : 16 = 383 R 11 = B$
Weil $383 \neq 0$ teile $379$ durch $16$ :	$383 : 16 = 23 R 15 = F$
Weil $23 \neq 0$ teile $23$ durch $16$ :	$23 : 16 = 1 R 7$
Weil $1 \neq 0$ teile $1$ durch $16$ :	$1 : 16 = 0 R 1$
Die Reste, unten beginnend, ergeben die gesuchte Zahl:	$98236 = (17 F B C) 16 $

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