Zu den Zahlensystemen gehören mehrere Stellenwertsysteme. Im Alltag verwendet man heute nahezu überall das Dezimalsystem. Doch gerade, wenn es um Technik geht, werden zwei andere Systeme wichtig: das Binär- und das Hexadezimalsystem.
Das Binärsystem (Dualsystem)
Das Binärsystem wird auch Dualsystem genannt. Um zwei gegensätzliche Zustände zu beschreiben (z.B. Strom an - Strom aus), werden oft die Symbole und verwendet. Diese Informationen kann ein Computer dann lesen und interpretieren. Beispielsweise der Prozessor eines Handys funktioniert auf Grundlage des Binärsystems.
Ja, Mathe ermöglicht die ganzen Funktionen, die ein Smartphone so bieten kann!
Das Binärsystem stellt Zahlenwerte mithilfe der Ziffern und dar. Es ist ein Stellenwertsystem, das die Basis hat, die Stellenwerte betragen von rechts beginnend also .
Eine Stellenwerttafel sieht im Binärsystem auch nicht so aus, wie man das aus der Grundschule kennt, sondern so:
Wert | |||||
---|---|---|---|---|---|
9 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Die Zahl im Binärsystem hat also den Wert , denn . Dieser Zusammenhang wird im folgenden Abschnitt genauer erklärt.
Umrechnen vom Binärsystem ins Dezimalsystem
Um eine Zahl vom Binärsystem ins Dezimalsystem umzurechnen, multipliziert man die Ziffer mit dem entsprechenden Stellenwert und addiert die Produkte.
Beispiel
Multipliziere die Ziffer mit dem darüber stehenden Wert.
Stellenwert | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Ziffer | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
Schreibe als Summe:
Umrechnen vom Dezimalsystem ins Binärsystem
Hat man eine Dezimalzahl gegeben, geht man nach folgendem Verfahren vor:
Teile die Zahl mit Rest durch und notiere den Rest.
Teile das Ergebnis wieder durch und notiere den Rest.
Fahre fort, bis dein Ergebnis ist.
Die gesuchte Binärzahl sind die Ziffern der Reste, wobei man mit dem letzten Rest beginnt.
Beispiel
Wir wollen als Binärzahl darstellen.
Beschreibung | Rechnung |
---|---|
Teile durch : | |
Weil , teile durch : | |
Weil teile durch : | |
Weil teile durch : | |
Weil teile durch : | |
Weil teile durch : | |
Die Reste, unten beginnend, ergeben die gesuchte Zahl: |
Das Hexadezimalsystem
"Hexadezimal" ist ein Mischwort aus dem griechischen hexa - sechs - und dem lateinischen decem - zehn. Das Hexadezimalsystem ist also ein Stellenwertsystem zur Basis . Weil man Ziffern braucht, um Zahlen im Hexadezimalsystem auszudrücken, braucht man zusätzlich zu den Ziffern , , , noch weitere Symbole. Dies sind , , , , und .
Zusammenhang zwischen Binärsystem und Hexadezimalsystem
Das Hexadezimalsystem wird häufig in der Datenverarbeitung genutzt. Es ist praktisch, weil man Informationen, die im Binärsystem Stellen bräuchten, mit nur Stellen darstellen kann. Deswegen ist es viel schneller!
Die Umrechnung von diesen beiden Systemen ist relativ einfach, da selbst eine Zweierpotenz ist, nämlich . Das bedeutet, je vier Ziffern im Binärsystem entsprechen einer Ziffer im Hexadezimalsystem!
Zahlenwert | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Hexadezimalsystem | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
Umrechnen vom Hexadezimalsystem ins Dezimalsystem
Man geht vor wie beim Binärsystem, nur dass hier die Basis , die Stellenwerte also sind.
Beispiel:
Schreibe zur Basis .
Multipliziere Ziffer und Stellenwert:
Rechne aus:
Umrechnen vom Dezimalsystem ins Hexadezimalsystem
Auch hier geht man vor wie beim Binärsystem. Man teilt jedoch nicht durch , sondern durch :
Hat man eine Dezimalzahl gegeben, geht man nach folgendem Verfahren vor:
Teile die Zahl mit Rest durch und notiere den Rest.
Teile das Ergebnis wieder durch und notiere den Rest.
Fahre fort, bis dein Ergebnis ist.
Die gesuchte Binärzahl sind die Ziffern der Reste, wobei man mit dem letzten Rest beginnt. Achtung: Denke daran, die Reste von bis in die Symbole bis umzuwandeln!
Beispiel
Stelle die Zahl im Hexadezimalsystem dar!
Beschreibung | Rechnung |
---|---|
Teile durch : | |
Weil , teile durch : | |
Weil teile durch : | |
Weil teile durch : | |
Weil teile durch : | |
Die Reste, unten beginnend, ergeben die gesuchte Zahl: |
Du hast noch nicht genug vom Thema?
Hier findest du noch weitere passende Inhalte zum Thema: