Zahlensysteme

Zu den Zahlensystemen gehören mehrere Stellenwertsysteme. Im Alltag verwendet man heute nahezu überall das Dezimalsystem. Doch gerade wenn es um Technik geht, werden zwei andere Systeme wichtig: das Binär- und das Hexadezimalsystem. Hier findest du Aufgaben zu Zahlenystemen

Das Binärsystem (Dualsystem)

Das Binärsystem wird auch Dualsystem genant. Um zwei gegensätzliche Zustände zu beschreiben (z.B. Strom an - Strom aus), werden oft die Symbole 0 und 1 verwendet. Diese Informationen kann ein Computer dann lesen und interpretieren. Beispielsweise der Prozessor eines Handys, wie auf dem Bild rechts, funktioniert auf Grundlage des Binärsystems.

Ja, Mathe ermöglicht die ganzen Funktionen, die ein Smartphone so bieten kann!

Das Binärsystem stellt Zahlenwerte mit Hilfe der Ziffern 0 und 1 dar. Es ist ein Stellenwertsystem, das die Basis 2 hat, die Stellenwerte betragen von rechts beginnend also 20,21,22,2^0{,}2^1{,}2^2,….

Eine Stellenwerttafel sieht im Binärsystem auch nicht so aus, wie man das aus der Grundschule kennt, sondern so:

Wert

9

1

0

0

1

Die Zahl 100121001_2 im Binärsystem hat also den Wert 9, denn 9=123+022+021+1209=1\cdot2^3+0\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0. Dieser Zusammenhang wird im folgenden Abschnitt genauer erklärt.

Umrechnen vom Binärsystem ins Dezimalsystem

Um eine Zahl vom Binärsystem ins Dezimalsystem umzurechnen, multipliziert man die Ziffer mit dem entsprechenden Stellenwert und addiert die Produkte.

Beispiel

Multipliziere die Ziffer mit dem darüber stehenden Wert.

Stellenwert

Ziffer

1

0

1

1

1

0

Schreibe (101110)2(101110)_2 als Summe:

Rechne aus:

Umrechnen vom Dezimalsystem ins Binärsystem

Hat man eine Dezimalzahl gegeben, geht man nach folgendem Verfahren vor:

  1. Teile die Zahl mit Rest durch 2 und notiere den Rest.

  • Teile das Ergebnis wieder durch 2 und notiere den Rest.

  • Fahre fort bis dein Ergebnis 0 ist.

  • Die gesuchte Binärzahl sind die Ziffern der Reste, wobei man mit dem letzten Rest beginnt.

Beispiel

Wir wollen 59 als Binärzahl darstellen.

Teile 59 durch 2:

Weil 29029\neq0, teile 29 durch 2:

Weil 14014\neq0 teile 14 durch 2:

Weil 707\neq0 teile 7 durch 2:

Weil 303\neq0 teile 3 durch 2:

Weil 101\neq0 teile 1 durch 2:

Die Reste, unten beginnend, ergeben die gesuchte Zahl:

T\vphantom{T} 59=(111011)259=(111011)_2

Das Hexadezimalsystem

"Hexadezimal" ist ein Mischwort aus dem griechischen hexa - sechs - und dem lateinischen decem - zehn. Das Hexadezimalsystem ist also ein Stellenwertsystem zur Basis 16. Weil man 16 Ziffern braucht, um Zahlen im Hexadezimalsystem auszudrücken, braucht man zusätzlich zu den Ziffern 0, 1, …, 9 noch weitere Symbole. Dies sind A, B, C, D, E und F.

Zusammenhang zwischen Binärsystem und Hexadezimalsystem

Das Hexadezimalsystem wird häufig in der Datenverarbeitung genutzt. Es ist praktisch, weil man Informationen, die im Binärsystem 8 Stellen bräuchten, mit nur 2 Stellen darstellen kann. Deswegen ist es viel schneller!

Die Umrechnung von diesen beiden Systemen ist relativ einfach, da 16 selbst eine Zweierpotenz ist, nämlich 16=2416=2^4. Das bedeutet je vier Ziffern im Binärsystem entsprechen einer Ziffer im Hexadezimalsystem!

Zahlenwert

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Hexadezimalsystem

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

Umrechnen vom Hexadezimalsystem ins Dezimalsystem

Man geht vor wie beim Binärsystem, nur dass hier die Basis 16, die Stellenwerte also 160,161,16^0, 16^1,… sind.

Beispiel:

Schreibe (5D6A)16(5D6A)_{16} zur Basis 10.

Multipliziere Ziffer und Stellenwert:

Rechne aus:

Umrechnen vom Dezimalsystem ins Hexadezimalsystem

Auch hier geht man vor wie beim Binärsystem. Man teilt jedoch nicht durch 2 sondern durch 16:

Hat man eine Dezimalzahl gegeben, geht man nach folgendem Verfahren vor:

  1. Teile die Zahl mit Rest durch 16 und notiere den Rest.

  • Teile das Ergebnis wieder durch 16 und notiere den Rest.

  • Fahre fort bis dein Ergebnis 0 ist.

  • Die gesuchte Binärzahl sind die Ziffern der Reste, wobei man mit dem letzten Rest beginnt.Achtung: Denke daran, die Reste von 10 bis 15 in die Symbole A bis F umzuwandeln!

Beispiel

Stelle die Zahl 98236 im Hexadezimalsystem dar!

Teile 98236 durch 16:

Weil 607706077\neq0, teile 6077 durch 16:

Weil 3790379\neq0 teile 379 durch 16

Weil 23023\neq0 teile 23 durch 16:

Weil 101\neq0 teile 1 durch 16:

Die Reste, unten beginnend, ergeben die gesuchte Zahl:

T\vphantom{T} 98236=(17FBC)1698236=(17FBC)_{16}


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