Stellenwertsysteme sind Zahlensysteme, die nach dem Bündelungsprinzip funktionieren. Jeder Stelle einer Zahl wird dabei ein Wert zugeordnet. Die bekanntesten Stellenwertsysteme sind das Dezimalsystem und das Binärsystem.

Geschichte

Bevor es Zahlen gab, notierte man Anzahlen durch verschiedene Symbole, wie z.B. Striche oder Punkte. Um zu schreiben, dass man 5 Schafe sieht, notierte man also 5 Striche: ||||| oder auch Punkte: %%\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot%%.

Je größer die Zahlen werden, umso unübersichtlicher wird dieses System. Außerdem hat es noch andere Grenzen. Es ist z.B. nicht möglich oder sehr umständlich, negative Zahlen oder Anteile (=Brüche) darzustellen.

Mit Hilfe von Stellenwertsystemen ist es einfacher, Zahlen darzustellen und komlizierte Rechnungen durchzuführen.

Verschiedene Stellenwertsysteme

Es gibt ausführliche Artikel zu folgenden Stellenwertsystemen:

Dezimalsystem

Das Dezimalsystem stellt Zahlen zur Basis 10 dar und ist unser alltägliches Zahlsystem.

Binärsystem und Hexadezimalsystem

Binär- und Hexadezimalsystem stellen Zahlen zur Basis 2 bzw. 16 dar. Sie werden heute in der Datentechnik bzw. Datenverarbeitung genutzt.

Grundlagen

Stellenwertsysteme liefern zwei Informationen auf einen Blick, denn die Ziffer selbst und die Stelle, an der sie steht, verraten etwas:

  • Die Stelle, an der die Ziffer steht, verrät die Bündelungseinheit,
  • die Ziffer verrät die Anzahl der Bündel.

Man will die Anzahl der blauen Punkte in einer Zahl ausdrücken.

1. Ordnen!

dots

2.Bündeln!

  • Fasse immer 5 Punkte zu einem Bündel zusammen.

dots_2

3. Zählen!

  • Man zählt 4 Bündel und 3 einzelne Punkte.
  • Die Anzahl der Bündel schreibt man zuerst auf und dann die Anzahl der einzelnen Punkte.

dots3

Weil immer 5 Punkte zusammengefasst wurden, kommt "43" als Anzahl heraus, obwohl es 23 Punkte sind. Um die bekannte 23 zu erhalten, muss man immer zehn Punkte zu einem Bündel fassen.

Die Null

Um alle Anzahlen auf diese Weise beschreiben zu können, musste man sich einen "Platzhalter" überlegen, der z.B. sagt, dass es keine einzelnen Punkte gibt, sondern nur Bündel. Dieser Platzhalter war die Null.

"Vier Zehner-Bündel und kein einzelner Punkt" konnte man jetzt, da die Null erfunden war, kurz schreiben als %%40%%.
Denn jeder weiß, wenn die 4 an der zweiten Stelle von rechts steht, beschreibt sie Zehner.

Begriffe und Notation

  • Basis: Die Basis beschreibt die Anzahl der Punkte, die zu einem Bündel zusammengefasst werden. Im Beispiel rechts wäre die Basis also 6.

  • Ziffern: Wenn die Basis eines Systems %%b%% ist, gibt es in diesem System genau %%b%% Ziffern. Im Beispiel rechts gibt es also die 6 Ziffern 0, 1, 2, 3, 4 und 5.

begriffe

  • Stelle und Stellenwert: Der Platz einer Ziffer heißt Stelle. Jeder Stelle wird ein Stellenwert zugeordnet. Dieser Stellenwert beträgt %%b^{\text{Nummer der Stelle}}%%, wobei man Stellen von rechts nach links mit 0 beginnend nummeriert. Die ersten drei Stellenwerte zur Basis sechs sind also %%6^0, 6^1%% und %%6^2%%.

Um deutlich zu machen, in welchem Stellenwertsystem man eine Zahl ausdrückt, benutzt man einen Index, der die Basis angibt:

%%(43)_5=(23)_{10}=23%%
%%(152)_6=(68)_{10}=68%%

Die Basis 10 bedeutet, dass man sich im Dezimalsystem befindet.

Stellenwerttafel

In einer Stellenwerttafel stehen in der ersten Zeile die Stellenwerte, sodass darunter die Ziffern der Zahl geschrieben werden können.

Die Zahl %%(1032)_4%% hätte also diese Stellenwerttafel.

Stellenwert

...

%%4^3%%

%%4^2%%

%%4^1%%

%%4^0%%

...

...

1

0

3

2

...

Im Dezimalsystem schreibt man auch E, Z, H,... für Einer, Zehner, Hunderter,... in die erste Zeile.
So kann man die Zahl 1032 eintragen:

Stellenwertsymbol

...

T

H

Z

E

...

Stellenwert

...

%%10^3%%

%%10^2%%

%%10^1%%

%%10^0%%

...

...

1

0

3

2

...

Wenn man Nachkommastellen eintrgen möchte, ergänzt man z,h,t,... für Zehntel, Hundertstel, Tausendstel,...

Stellenwert-symbol

...

H

Z

E

,

z

h

...

Stellenwert

...

%%10^2%%

%%10^1%%

%%10^0%%

,

%%10^{-1}%%

%%10^{-2}%%

...

1

3

2

,

3

5

Zwischen Stellenwertsystemen wechseln

Man kann Zahlen in verschiedenen Stellenwertsystemen darstellen.

Beispiele:

Stelle die Zahl 31 zur Basis 5 dar!

  • Man kann sich 31 Punkte vorstellen, die geordnet werden und die man jetzt zu fünft bündeln möchte.

  • Wieviele Fünferbündel erhält man?

Rechne %%31:5=6 \;R1%%.

%%\Rightarrow%% 6 Fünferbündel und 1 einzelner Punkt.

%%\Rightarrow 31=6\cdot5^1+1\cdot5^0%%

dotts

  • Die sechs Bündel muss man nun wieder zu fünft bündeln, da es die Ziffer 6 im Fünfersystem nicht gibt.

Rechne %%6:5=1 \;R1%%.

%%\Rightarrow%% 1 Fünferbündel-Bündel und 1 einzelnes Fünferbündel.

%%\Rightarrow 31%%
%%\;=1\cdot5^2+1\cdot5^1+1\cdot5^0%%
%%\;=(111)_5%%

dotts2

1 orangefarbenes Bündel,
1 rotes Bündel,
1 Punkt.

Stelle die Zahl %%(615)_7%% zur Basis 4 dar!

Schreibe %%(615)_7%% als Summe und berechne:

%%(615)_7=6\cdot 7^2+1\cdot 7^1+5\cdot7^0%%
%%\hphantom{(64311}= 294+7+5%%
%%\hphantom{(64311}= 306%%

Teile 306 durch 4:

%%306:4=76\;R\;2%%

Teile 76 durch 4:

%%76:4=19\;R\;0%%

Teile 16 durch 4:

%%19:4=4\;R\;3%%

Teile 4 durch 4:

%%4:4=1\;R\;0%%

Teile 1 durch 4:

%%1:4=0\;R\;1%%

Weil das Ergebnis der Division 0 ist, ist man hier fertig. Die Reste sind nun jeweils die Vorfaktoren der Stellenwerte. Der erste Rest, den wir berechnet haben, gehört zum Stellenwert %%4^0%%, der zweite zu %%4^1%% usw.

%%325=1\cdot4^4+0\cdot4^3+3\cdot4^2+0\cdot4^1+2\cdot4^0%%
%%\hphantom{325}=(10302)_4%%

Kommentieren Kommentare

Zu article Stellenwertsysteme:
Lieke 2017-03-01 14:30:31
Liebes Serlo-Team, ich habe eine Fehler bei der Berechnung der Zahl 615 (7er Stellenwertsystem) zur Basis 4 gefunden. Nachdem ihr die Ausgangszahl ins Dezimalsystem (=306) umgewandelt habt, beginnt ihr mit der Division durch 4. Im zweiten Schritt hat sich ein Fehler eingeschlichen und ihr habt 76:4=16 Rest 2 angegeben. Hier dürfte es aber keinen Rest gegen, da 76 restlos durch 4 geteilt werden kann, also Rest = 0 (da 76:4=19). Dementsprechend wurde dieses fehlerhafte Ergebnis auch in die nächste Zeile übertragen, sodass ihr insgesamt zu einem verkehrten Endergebnis gelangt. Ich denke die Rechnung müsste so aussehen:
306 : 4 = 76 R2
76 : 4 = 19 R0
19 : 4 = 4 R3
4 : 4 = 1 R0
1 : 4 = 0 R1
Dementsprechend bin ich auf ein anderes Endergebnis gekommen: 10302 müsste die richtige Zahl im 4er Stellenwertsystem lauten. Vielleicht könnt ihr dies korrigieren.
Liebe Grüße Lieke
peterjaumann 2017-03-02 14:55:25
Hallo Lieke,
du hast natürlich Recht. Ich mache mich gleich daran, das auszubessern. Danke für den Hinweis. :)
Viele Grüße
Peter
peterjaumann 2017-03-02 15:07:35
So, fertig.
Falls du in Zukunft Lust hast, eine ähnliche Verbesserung selbst vorzunehmen und noch ein bisschen Starthilfe zur Arbeit an Inhalten auf Serlo brauchst, darfst du dich gerne bei mir melden. (Z.B. mit einer Diskussion auf meinem Profil.)
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