In diesem Kurs soll erklärt werden, warum es Einheiten gibt und wie man mit ihnen umgeht.

Früher wurden Längen zum Beispiel in „Finger-“oder „Fußlängen“ und Zeitspannen in Umlaufszeiten der Sonne oder des Mondes angegeben. Zum Wiegen von beispielsweise Gold wurden auf die andere Seite der Waage Steine gelegt.

Doch diese Angaben sind nicht eindeutig. Weder die Finger noch die Füße aller Menschen sind gleich lang. Die Position der Sonne oder des Mondes sind selbst im modernen Alltag nicht gerade leicht zu bestimmen. Somit waren solche Angaben für die Wissenschaft zumindest sehr schwierig zu verwenden. Außerdem wurden diese Angaben natürlich von vielen zu ihren eigenen Gunsten ausgelegt. Das Gold von einem selber hat man mit kleinen Steinen gemessen, um eine möglichst hohe Anzahl an Steinen als Gewicht des Goldes nennen zu können. Das Gold eines anderen wurde gegebenenfalls mit größeren Steinen gemessen, damit es nach weniger aussieht. Dies führte zu sehr vielen Streitigkeiten.

Um dem allen entgegenzuwirken, wurden im Laufe des $1919$. Jahrhunderts genormte Einheiten etabliert. Dabei hat man ein Objekt genommen, bei welchem man festlegte, dass dies nun ein Meter ist und es vervielfältigt. So konnte jeder dieselbe Längenangabe verwenden und es musste nicht mehr wegen ungenauer Angaben gestritten werden. Dieses Objekt ist heute übrigens als der sogenannte „Urmeter“ bekannt. Genauso verlief es bei anderen messbaren Größen.

Wenn man beispielsweise die Einheit "cm" vor sich hat, ist dies die Einheit "centimeter". Relevant wird das hauptsächlich in der Physik, wenn es um Einheiten wie zum Beispiel "ms" geht. Steht in einem Term nämlich beispielsweise $5\text{ms}5\backslash ,\backslash text\{ms\}$ ("fünf Millisekunden") so ist das etwas anderes als $5\text{m}\cdot \text{s}5\backslash ,\; \backslash text\{m\}\backslash cdot\backslash text\{s\}$ ("fünf Meter mal Sekunde").

In Einheiten kommen oft die Präfixe "dezi", "centi" und "milli" vor. Dies entspricht der Reihe nach den lateinischen Worten für "zehn", "hundert" und "tausend". Diese Präfixe kommen wie zum Beispiel in "Deziliter", "Centimeter" und "Millisekunden" immer wieder vor. Dabei stellen diese lateinischen Präfixe immer nur Anteile der vollständigen Einheit, vor welche sie gesetzte werden, dar. Ein Deziliter ist ein Zehntel eines Liters. Ein Centimeter ist ein Hundertstel eines Meters und eine Millisekunde ist ein Tausendstel einer Sekunde. Dies findet man in allen Bereichen wieder. So ist zum Beispiel ein Cent ein Hundertstel eines Euros.

Griechische Präfixe werden dagegen zur Bezeichnung ganzer Vielfacher der Einheiten verwendet. So entspricht ein Hektoliter hundert Litern und ein Kilogramm tausend Gramm.

$1\text{cm}={10}^{-2}\text{m}1\text{mm}={10}^{-3}\text{m}1\mu \text{m}={10}^{-6}\text{m}1\text{nm}={10}^{-9}\text{m}1\backslash ;\backslash text\{cm\}=10^\{-2\}\backslash ;\backslash text\{m\}\backslash \backslash 1\backslash ;\backslash text\{mm\}=10^\{-3\}\backslash ;\backslash text\{m\}\backslash \backslash 1\backslash ;\backslash mu\backslash text\{m\}=10^\{-6\}\backslash ;\backslash text\{m\}\backslash \backslash 1\backslash ;\backslash text\{nm\}=10^\{-9\}\backslash ;\backslash text\{m\}$

Potenzen können aber auch Einheiten zugeordnet sein. $1{\text{m}}^1=1\cdot \text{m}\text{ ist eine L}\ddot{\text{a}}\text{ngenangabe.}1{\text{m}}^2=1\cdot \text{m}\cdot \text{m}\text{ ist eine Fl}\ddot{\text{a}}\text{chenangabe.}1{\text{m}}^3=1\cdot \text{m}\cdot \text{m}\cdot \text{m ist eine Volumenangabe.}\backslash \backslash 1\backslash ;\backslash text\{m\}^1=1\; \backslash cdot\; \backslash text\{m\}\; \backslash text\{\; ist\; eine\; Längenangabe.\}\backslash \backslash \; 1\backslash ;\backslash text\{m\}^2=1\; \backslash cdot\; \backslash text\{m\}\; \backslash cdot\; \backslash text\{m\}\; \backslash text\{\; ist\; eine\; Flächenangabe.\}\backslash \backslash \; 1\backslash ;\backslash text\{m\}^3=1\; \backslash cdot\; \backslash text\{m\}\; \backslash cdot\; \backslash text\{m\}\backslash cdot\; \backslash text\{m\}\; \backslash text\{\; ist\; eine\; Volumenangabe.\}$

Negative Potenzen haben dabei eine interessante Wirkung. Nach der mathematischen Umformung $1{\text{m}}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\text{m}}}1\backslash ;\backslash text\{m\}^\{-1\}=\backslash dfrac\{1\}\{\backslash text\{m\}\}$ lässt sich der Term als "Einmal pro Meter" interpretieren. Ein bisschen anders formuliert lässt sich zum Beispiel ${\displaystyle \frac{2\text{€}}{\text{km}}}\backslash dfrac\{2\backslash ;€\}\{\backslash text\{km\}\}$ als "Für jeden Kilometer zahlt/bekommt man zwei Euro" auffassen.

In diesem Abschnitt geht es um die bildliche Vorstellung der Multiplikation und Division von Längen, Flächen und Volumina.

Längen mit Längen multiplizieren

Längen bestehen aus mehreren Punkten.

Bei der Multiplikation zweier Längen nimmt man für jeden Punkt der einen Länge, die gesamte andere Länge. Und andersrum genauso.

Betrachten wir zum Beispiel die beiden Längen $4\text{m}4\backslash ;\backslash text\{m\}$ und $6\text{m}6\backslash ;\backslash text\{m\}$.

An jeden Punkt auf der roten Länge wird einmal die blaue Länge daran gehängt. Und genauso wird für jeden Punkt auf der blauen Länge die rote Länge daran gehängt.

Wenn man beides in einem Bild vereint, erkennt man bereits wunderbar die Fläche eines Rechteckes. Dabei ist es völlig egal, ob man die blaue oder rote Strecke nach rechts oder nach oben gelegt hat. Der Flächeninhalt (A${}_{Rechteck}\_\{Rechteck\}$ $=24{\text{m}}^2=24\backslash ;\backslash text\{m\}^2$) verändert sich nicht, auch wenn das Rechteck auf der Seite liegen mag.

Längen und Flächen multiplizieren

Eine Länge besteht aus mehreren Punkten.

Eine Länge mit einer Fläche zu multiplizieren bedeutet, für jeden Punkt der Länge einmal die ganze Fläche daran zu hängen.

Nimm dafür die grüne Länge von $5\text{m}5\backslash ;\backslash text\{m\}$ und die lila Fläche von $24{\text{m}}^{2}24\backslash ;\backslash text\{m\}^2$.

Es wird jetzt an jeden Punkt dieser grünen Länge die lila Fläche angehängt.

Man erkennt jetzt schon den Körper, der hierbei erzeugt wird.

Längen bestehen aus mehreren Punkten. Genauso bestehen auch Flächen aus mehreren Punkten. Nämlich den Punkten an denen sich die Linien kreuzen.

Zusammengesetzte Einheiten kommen hauptsächlich in naturwissenschaftlichen Disziplinen vor. In der Physik gibt es die Einheit "Newton", welche sich gemäß $1\text{N}=1{\displaystyle \frac{\text{kg}\cdot \text{m}}{{\text{s}}^2}}1\backslash ,\; \backslash text\{N\}=1\backslash ,\; \backslash dfrac\{\backslash text\{kg\}\backslash cdot\; \backslash text\{m\}\}\{\backslash text\{s\}^2\}$ zusammensetzt.