Sachaufgaben zur Berechnung zusammengesetzter Figuren

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Aus dem Parallelogramm unten wurde ein Kreis mit Durchmesser $d = 12 \,\mathrm{cm}$ ausgeschnitten. Die Länge $l$ beträgt $20 \,\mathrm{cm}$ . Berechne den Flächeninhalt der Figur. Runde das Ergebnis auf ganze Zahlen.

cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren

Im Voraus musst du eine allgemeine Formel aufstellen, mit der du den gesamten Flächeninhalt berechnen kannst. Die Figur setzt sich zusammen aus einem Parallelogramm, aus dem ein Kreis ausgeschnitten wurde. Das bedeutet, dass der Flächeninhalt des Kreises von dem des Parallelogramms abgezogen werden muss.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} A_{\mathrm{gesamt}} &=& A_{\mathrm{Parallelogramm}} &-& A_{\mathrm{Kreis}} \\ A_{\mathrm{gesamt}} &=& l \cdot h &-& \pi r^2 \end{array}

Die Höhe $h$ des Parallelogramms kann ersetzt werden durch den Kreisdurchmesser $d$ , da der Kreis die gleiche Höhe besitzt wie das Parallelogramm.

Für den Flächeninhalt des Kreises, ist es nötig den Radius $r$ aus dem Durchmesser $d$ zu berechnen und einzusetzen, wie folgt:

\displaystyle d = 2r \Rightarrow r = \dfrac{d}{2}

\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} A_{\mathrm{gesamt}} &=& l \cdot d &-& \pi r^2 \\\\ A_{\mathrm{gesamt}} &=& l \cdot d &-& \pi \cdot \Big(\dfrac{d}{2}\Big)^2 \\\\ A_{\mathrm{gesamt}} &=& 20 \,\mathrm{cm} \cdot 12\,\mathrm{cm} &-& \pi \cdot \Big(\dfrac{12 \,\mathrm{cm}}{2}\Big)^2 \\\\ A_{\mathrm{gesamt}} &=& 240 \,\mathrm{cm^2} &-& 36\pi\,\mathrm{cm^2} \\\\ A_{\mathrm{gesamt}} &\approx& 127 \,\mathrm{cm^2} \end{array}

Daraus folgt, dass der Gesamtflächeninhalt ca. $127 \,\mathrm{cm^2}$ beträgt.

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