Lösung Teilaufgabe a)

Drei Spielführerinnen und 6 Spielführer stellen sich in einer Reihe auf. Wieviele Aufstellungsmöglichkeiten gibt es, wenn die 3 Spielführerinnen nebeneinander stehen sollen?

Es gibt insgesamt 9 Plätze.

Die Spielführerinnen bilden einen Block. Sie können sich auf $3!$ Möglichkeiten nebeneinander aufstellen. Dieser Block kann an 7 Stellen in der Reihe eingefügt werden. Der Block kann die Plätze 1 bis 3, oder 2 bis 4, oder... 7 bis 9 belegen.

Wenn die Mädchen sich aufgestellt haben, so können die 6 Jungen sich auf $6!\$Arten auf die übrigen Plätze verteilen.

Insgesamt gibt es also

$3!\cdot 6!\cdot 7=3!\cdot 7!$ Möglichkeiten.

Lösung Teilaufgabe b)

Wenn man aus den 99 Kindern 5 Mädchen und 5 Jungen auswählen will, so muss man das Modell "Ziehen ohne Zurücklegen" anwenden, um die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis A zu berechnen.

Max verwendet das Modell "Ziehen mit Zurücklegen", denn er benutzt die Bernoullikette und diese beruht auf dem Modell "Ziehen mit Zurücklegen".

Korrekterweise gilt für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A:

$P(A)=\frac{\begin{pmatrix}66\\5\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}33\\5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}99\\10\end{pmatrix}}=\frac{\frac{66\cdot65\cdot64\cdot63\cdot62}{5!}\frac{33\cdot32\cdot31\cdot30\cdot29}{5!}}{\frac{99\cdot98\cdot97\cdot96\cdot95\cdot94\cdot93\cdot92\cdot91\cdot90}{10!}}\iff$

$P(A)=\frac{66\cdot65\cdot64\cdot63\cdot62}{99\cdot98\cdot97\cdot96\cdot95}\cdot\frac{33\cdot32\cdot31\cdot30\cdot29}{94\cdot93\cdot92\cdot91\cdot90}\cdot\frac{10!}{5!\cdot 5!}\iff$

$P(A)$ ist somit als ein Produkt aus drei Faktoren dargestellt.

Für den letzten Faktor gilt: $\frac{10!}{5!\cdot5!}=\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}$.

Der erste und der zweite Faktor sind jeweils Quotienten, deren Zähler und Nenner aus 5 Faktoren bestehen.

Dann schreibt sich

$P(A)=\frac{66}{99}\cdot\frac{65}{98}\cdot\frac{64}{97}\cdot\frac{63}{96}\cdot\frac{62}{95}\cdot\frac{33}{94}\cdot\frac{32}{93}\cdot\frac{31}{92}\cdot\frac{30}{91}\cdot\frac{29}{90}\cdot\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}$

Die ersten 5 Faktoren haben jeweils in etwa den Wert von $\frac{2}{3}$ und die letzten 5 Faktoren haben jeweils in etwa den Wert von $\frac{1}{3}$.

$P(A) \approx( {\dfrac{2}{3})}^5\cdot ({\dfrac{1}{3})}^5 \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix}$

Somit weicht der vom Max errechnete Wert nur geringfügig vom tatsächlichen Wert ab.