Will man in einem Zufallsexperiment die relativen Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen betrachten, so bietet sich eine Vierfeldertafel an, um zu notieren, mit welcher Wahrscheinlichkeit

A und B beide auftreten: P( $A\cap B$ )
A auftritt und B nicht: P( $A\cap\overline B$ )
B auftritt und A nicht: P( $\overline A\cap B$ )
keines der Ereignisse auftritt: P( $\overline A\cap\overline B$ )

Die Regeln für relative Wahrscheinlichkeiten lassen sich außerdem mit einer Vierfeldertafel leichter merken. Damit lassen sich z.B relativ leicht fehlende Wahrscheinlichkeiten berechnen oder die Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit überprüfen.

Allgemeine Form

Zusätzlich zu den vier genannten relativen Wahrscheinlichkeiten fügt man oft noch in der letzten Zeile und Spalte die absoluten Wahrscheinlichkeiten für A und B ein.

$A$ $\overline A$

$B$ P( $A\cap B$ ) P( $\overline A\cap B$ ) P( $B$ )

$\overline B$ P( $A\cap\overline B$ ) P( $\overline A\cap\overline B$ ) P( $\overline B$ )

P( $A$ ) P( $\overline A$ ) 1

Regeln

In einer Vierfeldertafel gilt:

In der untersten Zeile ist jede Wahrscheinlichkeit die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten darüber

In der letzten Spalte ist jede Wahrscheinlichkeit die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten links davon

Das sind die Rechenregeln für bedingte Wahrscheinlichkeiten:

$P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap\overline B)$

$P(\overline A)=P(\overline A\cap B)+P(\overline A\cap\overline B)$

…

P( $A$ )+P( $\overline A$ )=1

P( $B$ )+P( $\overline B$ )=1

Mit diesen Regeln lassen sich nun, wenn genügend Information gegeben ist, der Rest der Wahrscheinlichkeiten berechnen.

Beispiel

Die 16 Jungen und 14 Mädchen einer Schulklasse nehmen an einem Mathematik-Test teil. 13 Jungen bestehen. Insgesamt bestehen 20 Schüler den Test. Wieviele Mädchen bestehen den Test nicht?

Aus dem Text lassen sich die Wahrscheinlichkeiten $P\left(B\cap J\right)$ , $P\left(B\right)$ , $P\left(J\right)$ sowie $P\left(W\right)$ bestimmen.

Die zugehörige Vierfeldertafel sieht dann wie folgt aus:

J M

$B$ $\frac{13}{30}$ $\frac{20}{30}$

$\overline B$

$\frac{16}{30}$ $\frac{14}{30}$ 1

Um die fehlenden Werte ergänzt und vollständig gekürzt ergibt sie sich zu:

J M

$B$ $\frac{13}{30}$ $\frac7{30}$ $\frac23$

$\overline B$ $\frac1{10}$ $\frac7{30}$ $\frac13$

$\frac8{15}$ $\frac7{15}$ 1

Daraus lässt sich leicht die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P\left(\overline B\cap W\right)=\frac7{30}$ (rot) auslesen. Also haben 7 Mädchen den Test nicht bestanden.

Video

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