Konfidenzintervalle

Schluss von der Stichprobe auf die Gesamtheit

Der wahre Wert $p$ für die Wahrscheinlichkeit (z. B. Fehlerwahrscheinlichkeit einer Maschine) ist unbekannt.

Die Wahrscheinlichkeit $p$ soll durch den prozentualen Anteil ${\displaystyle \frac{X}{n}}$ in einer Stichprobe der Größe $n$ abgeschätzt werden.

Aus der Stichprobe wird der Wert des prozentualen Anteils ${\displaystyle \frac{X}{n}}$ bestimmt. Dieser Wert ist ein erster Schätzwert für die unbekannte Wahrscheinlichkeit $p$.

Zur Eingrenzung des wahren Wertes für $p$ bildet man ein Intervall um ${\displaystyle \frac{X}{n}}$ herum (dessen Mitte ${\displaystyle \frac{X}{n}}$ ist), welches $p$ enthalten soll.

Abhängig von der gewünschten Sicherheitswahrscheinlichkeit $\gamma$ (Vertrauensniveau), mit der das Intervall $p$ überdecken soll, wird die Intervallgröße berechnet.

Näherungsverfahren zur Bestimmung von Konfidenzintervallen

Das Rechenverfahren zur Bestimmung von Konfidenzintervallen ist recht aufwendig.

Deshalb wird ein Näherungsverfahren eingesetzt.

Für $\mathrm{0,3}\le h\le \mathrm{0,7}$ kann $p$ unter der Wurzel durch $h$ ersetzt werden.

$\Rightarrow |{\displaystyle \frac{X}{n}}-p|\le c\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{p\cdot (1-p)}{n}}}\Rightarrow |h-p|\le c\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{h\cdot (1-h)}{n}}}$

Mit den Zahlen aus dem Musterbeispiel $h=\mathrm{0,09}$ und $n=400,c=\mathrm{1,96}$ folgt dann:

$|\mathrm{0,09}-p|\le \mathrm{1,96}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,09}\cdot (1-\mathrm{0,09})}{400}}}$

$|\mathrm{0,09}-p|\le \mathrm{0,0280}\Rightarrow p_1\approx \mathrm{0,0620}{p}_2\approx \mathrm{0,1180}\Rightarrow [\mathrm{0,0620};\mathrm{0,1180}]$

Bei exakter Rechnung liegt $p$ im Intervall $[\mathrm{0,0657};\mathrm{0,1221}]$, bei der Näherungslösung liegt $p$ im Intervall $[\mathrm{0,0620};\mathrm{0,1180}]$, also nur geringfügig anders.

Wahl eines genügend großen Stichprobenumfangs

Der Anteil in der Stichprobe soll sich vom Anteil in der Gesamtheit um höchsten den Wert ${\displaystyle \frac{d}{2}}$ unterscheiden. Wie groß muss die Stichprobe sein?

Was wir haben wollen, ist $|{\displaystyle \frac{X}{n}}-p|\le {\displaystyle \frac{d}{2}}$.

Wir wissen $|{\displaystyle \frac{X}{n}}-p|\le c\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{n}}$

Wenn also

ist, muss auch die gesuchte Ungleichung $|{\displaystyle \frac{X}{n}}-p|\le {\displaystyle \frac{d}{2}}$ gelten.

Die Ungleichung $c\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{n}}\le {\displaystyle \frac{d}{2}}$ wird nach $n$ aufgelöst (siehe Musterbeispiel).

Näherungslösung für die Wahl eines genügend großen Stichprobenumfangs

Für das Konfidenzintervall gilt: $|{\displaystyle \frac{X}{n}}-p|\le c\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{n}}$

Für die Länge $l$ des Konfidenzintervalls gilt:

$l\le 2\cdot c\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{p(1-p)}{n}}}$

Das Produkt $p(1-p)$ wird für $p=\mathrm{0,5}$ am größten.

Dann gilt:

$l\le 2\cdot c\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{p(1-p)}{n}}}\le 2\cdot c\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4n}}}$

Diese Länge $l$ soll höchstens gleich $d$ sein, d. h. die Länge des Konfidenzintervalls ist dann gleich $d$.

$\Rightarrow 2\cdot c\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4n}}}\le d\Rightarrow n\ge {\displaystyle \frac{c^2}{d^2}}$

Für das Musterbeispiel "Wahl eines genügend großen Stichprobenumfangs" ergibt sich dann folgende Näherung:

Es ist ${\displaystyle \frac{d}{2}}=\mathrm{0,01}\Rightarrow d=2\cdot \mathrm{0,01}=\mathrm{0,02}$ und $c=3$.

Bei der genauen Rechnung im Musterbeispiel "Wahl eines genügend großen Stichprobenumfangs" erhielt man $n\ge 21600$. Im Vergleich dazu die mit geringerem Rechenaufwand ermittelte Näherungslösung $n\ge 22500$.