9Lösung 3d

Aufgabenstellung

$3$Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion $f: x\mapsto \sqrt{25-x^2}$ mit Definitionsbereich $D_f=[-5;5]$.

$a)$ Begründen Sie, dass in diesem Modell jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand von der Bodenmitte M den Abstand $5 m$ hat. Zeichnen Sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: $5\le x\le 9$, $1\le y\le 13$) und begründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung III erfüllt ist. (5 BE)

Betrachtet wird nun die Integralfunktion $F: x\mapsto \int_{0}^{x} f(t) dt$ mit Definitionsbereich $D_F=[-5;5]$.

$b)$Zeigen Sie mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass $F(5)=\frac{25}{4}\pi$ gilt. Einer der Graphen A, B und C ist der Graph von F. Entscheiden Sie, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht infrage kommen. (5 BE)

$c)$ Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels bei einer Modellierung mit $f$ von dem in Aufgabe 2a berechneten Wert abweicht. (2 BE)

Der Tunnel soll durch einen Berg führen. Im betrachteten Querschnitt wird das Profil des Berghangs über dem Tunnel durch eine Gerade g mit der Gleichung $y=-\frac{4}{3}x+12$ modelliert.

Zeigen Sie, dass die Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $R(4|f(4))$ parallel zu $g$ verläuft. Zeichnen Sie $g$ und $t$ in das Koordinatensystem aus Aufgabe 3a ein. (4 BE)

Lösung

Tangente $t$ verläuft parallel zu $g$

Um Parallelität zu prüfen, muss man die Steigung der Tangente $t$ berechnen. Dazu bildet man die erste Ableitung und setzt ein.

$f'(x)=\frac{1}{2}\cdot(25-x^2)^{-\frac{1}{2}}(-2x)\\=-x\cdot(25-x^2)^{-\frac{1}{2}}\\f'(4)=-4\cdot(25-4^2)^{-\frac{1}{2}}=-\frac{4}{\sqrt{9}}=-\frac{4}{3}$

Die Steigungen von $t$ und $g$ stimmen also überein, also sind sie parallel.

Einzeichnen von $g$ und $t$

Dazu benötigt man die Geradengleichung von $t$. Berechne dazu erst den Punkt $R$.

$f(4)=\sqrt{25-4^2}=\sqrt{9}=3$

Der Punkt $R$ hat also die Koordinaten $(4|3)$. Setze diese in die Geradengleichung ein und berechne den $y$-Achsenabschnitt von $t$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl} y&=&-\frac{4}{3}x+b\\3&=&-\frac{4}{3}\cdot 4+b\\3 +\frac{16}{3}&=&b\\b&=&\frac{25}{3}\end{array}$

Die Geradengleichung von $t$ ist also $y=-\frac{4}{3}x+\frac{25}{3}$. Mit diesen Infos kannst du die Geraden einzeichnen.