7IVb. Herleitung lang mit Erklärungen

Herleitung der allgemeinen Koordinatenform

Bisher wurde im ersten Kapitel erklärt, das alle Punkte mit 3 Koordinaten, die jeweils eine Lösung einer Koordinatengleichung sind, in einer Ebene liegen. Im zweiten Kapitel hast du gesehen, dass die Lage einer Ebene im Raum eindeutig durch die Angabe eines Stützvektors und eines Normalenvektors definiert ist. Nun werden beide Aspekte zusammengebracht und du lernst, warum die allgemeine Koordinatenform eine Ebene beschreibt.

Im Applet unten siehst du eine Ebene, die von einem Stützvektor angesteuert. Dieser Stützvektor ist in der Abbildung rot dargestellt.Ihn kennst du aus der Parameterdarstellung einer Ebene. Ohne ihn kann auch keine Koordinatenform gebildet werden.

Neu in der Darstellung sind jedoch der grüne Vektor und der orangene Vektor. Der grüne Vektor steht senkrecht auf der Ebene und heißt Normalenvektor. Jeder Vektor, der in der Ebene liegt, steht senkrecht zum grünen Normalenvektor $\vec{n}$. Der orange Vektor dagegen verbindet den Punkt A, der das Pfeilende vom Stützvektor ist, mit jedem x-beliebigen Punkt X in der Ebene. Er heißt also $\overrightarrow{AX}$:

Du kannst im Applet den Punkt X an jede x-beliebige Stelle verschieben. Welche Beziehung wird jedoch immer zwischen dem grünen Normalenvektor $\vec{n}$ und dem orangenen Vektor $\overrightarrow{AX}$ bestehen?

Wenn $\overrightarrow{AX}$ und $\vec{n}$ immer - also unabhängig von der Lage des Punktes X in der Ebene - senkrecht zueinander stehen, heißt das algebraisch, dass ihr Skalarprodukt immer Null ist.

Stell dir vor, der Punkt X würde nicht mehr in der Ebene liegen, sondern ein Stückchen über oder unter ihr. Dann würde der orangene Vektor auch nicht mehr senkrecht zum grünen Vektor sein. Dann wäre ihr Skalarprodukt auch nicht mehr Null.

Nun geht es darum, den soeben beschriebenen Zusammenhang algebraisch zu formulieren, um die Koordinatenform einer Ebene herzuleiten.

Zuerst überlegen wir uns, wie der orangene Vektor berechnet werden kann. Er führt vom Punkt A, der Pfeilspitze des Stützvektors, zu einem x-beliebigem Punkt X in der Ebene. Er kann für jeden beliebigen Punkt berechnet werden durch:

Oben hast du gesehen, dass der orangene Vektor zum grünen Normalenvektor senkrecht steht. Also gilt:

Diese Gleichung besagt: Das Skalarprodukt von Stützvektor mit einem Vektor, der zwischen einem Punkt A in der Ebene und irgendeinem beliegiem anderen Punkt in der Ebene geht, ist Null.

Um nun zu der Koordinatenform zu gelangen, müssen wir nur noch algebraische Umformungen vornehmen.

Zuerst wird das Distributivgesetz angewandt, um die Klammer aufzulösen:

Danach können wir den rechten Summanden auf die andere Seite der Gleichung bringen:

Nun multipliziert man beide Seiten der Gleichungen nach der Definition des Skalarproduktes aus:

Auf der linken Seite der Gleichung steht also das Skalarprodukt eines Vektor $\overrightarrow{OX}$ mit einem Normalenvektor $\vec{n}$. $\overrightarrow{OX}$ ist ein Ortsvektor zu irgeneinem beliebigen Punkt in der Ebene, den wir nicht kennen. Der Normalenvektor $\vec{n}$ ist der senkrecht auf der Ebene stehende Vektor, dessen Koordinaten bekannt sein müssen.

Auf der rechten Seite der Gleichung steht das Skalarprodukte eines Vektors $\overrightarrow{OA}$ mit dem Normalenvektor $\vec{n}$. Beide Vektoren müssen ebenfalls bekannt sein. Weil beide Vektoren bekannt ist, ist das Ergebnis dieses Skalarpoduktes eine Zahl, für die man auch einfach $d$ schreiben kann:

Allgemeine Form einer Koordinatengleichung:

häufig verwendet man auch die dazu äquivalente Schreibweise:

In dieser Form stehen die drei Buchstaben $n_1, n_2,n_3$ für die drei Koordinaten des Normalenvektors $\vec{n}$. Er ist in der Regel bekannt. Die drei Buchstaben $x_1,x_2,x_3$ (oder auch $x,y,z$) stehen für die drei Koordinaten eines beliebigen und unbekannten Vektors $\vec{x}$. Der Buchstabe $d$ auf der rechten Seite ist das Ergebnis des Skalarproduktes eines bekannten Stützvektors der Ebene $\vec{OA}$ mit dem Normalenvektor.

Schau dir noch einmal das obige Geogebra-Applet an. Dort ist grüne Normalenvektor $\vec{n}$=(0/0/1). Der rote Stütz-Vektor $\vec{OA}$ hat die Koorinaten (1/1/1). Also ist eine Koordinatenform der Ebene:

also lautet die Ebenegleichung zu der Ebene im Applet:

Ein einfaches BeispielSei A mit $(2/3/4)$ ein Punkt in einer Ebene und $\overrightarrow{OA}$ sei somit der Stützvektor der Ebene. Weiterhin sei $\vec{n} = (3/1/4)$ ein Normalenvektor der Ebene.

Abschließende Aufgabe:Unter folgendem Link kannst du noch einmal testen, ob du die Herleitung verstanden hast, indem du die einzelnen Begründungsschritte in die richtige Reihenfolge bringst:

https://learningapps.org/21633860