9VI. Eine Koordinatenform aus 3 Punkten ermitteln

Koordinatenform aus drei Punkten ermitteln

Im ersten Beispiel hatten wir folgenden Koordinatenform:

Der Ausschnitt der Ebene, der im 1.Quadranten liegt, sieht so aus:

Nun nimm an, du wüßtest nicht, wie die Ebenengleichung lautet und überlege kurz: Wie kannst du eine solche Gleichung aufstellen, wenn du nur die Koordinaten der drei Punkte A, B und C kennst?A(4/0/0)B(0/2/0)C(0/0/1)

Aufgabe: Notiere einen Ansatz!

Aufgabe: Führe den Ansatz mit den Werten von A, B und C aus!

Ein Stützvektor der Ebene ist der Vektor $\vec{OA}$mit (4/0/0). Der Normalenvektor der Ebene muss auf orthogonal auf der Ebene stehen, er muss als auch orthogonal zu beiden Spannvektoren sein. Als Spannvektoren können wir hier gut die Vektoren $\vec{AC}$ mit (-4/0/1) und $\vec{BC}$ mit (0/-2/1) wählen. Der Normalenvektor wird mit dem Vektorprodukt bestimmt und ist: $\vec{n}$ = (2/4/8).

Das Skalarprodukt von Stützvektor und Normalenvektor ist hier:

Also lautet eine Ebenengleichung:

Vergleiche mal $E_1$ und die Gleichung $E_2$!

Beide Ebenengleichungen unterscheiden sich nur um den Faktor 2. Offensichtlich gelten für die Koordinatenform die gleichen Rechengesetzte wie für Gleichungen.

Eine Ebene in Koordinatenform hat also unendlich viele Darstellungsmöglichkeiten, die sich nur durch Äquivalenzumformungen unterscheiden.

Multipliziere mal $E_1$ mit 32!

Dies ist aber auch logisch, denn der Normalenvektor einer Ebene hat ja keine vorgegebene Länge. Der Normalenvektor von $E_1$ ist $\vec{n_1}$=(1/2/4) und der Normalenvektor von $E_2$ ist $\vec{n_2}$=(2/4/8). Da der eine Vektor ein Vielfaches des anderen Vektors ist, unterscheiden sich beide Vektoren auch nur in der Länge! Auch der Vektor $\vec{n_3}$=(-4/-8/-16) ist ein Normalenvektor der Ebene. Er ist nur drei mal so lang und zeigt in die andere Richtung. Mit ihm kann auch wieder eine Ebenegleichung für die gleiche Ebene aufgestellt werden. Dazu muss er skalar mit einem Stützvektor multipliziert werden. In der Darstellung oben ist zu sehen, dass auch $\vec{OB}$ =(0/2/0) so ein Stützvektor ist. Also gilt:

Also ist eine vierte Gleichung der Ebene E:

Nun also eine kleine Übung zum Ermitteln einer Koordinatenform aus drei Punkten. Nimm einen Stift und stelle zu den folgenden drei Punkten eine Koordinatengleichung auf und überprüfe dein Ergebnis: Punkten aufstellen