8V. Die Normalenform

Während der obigen Herleitung war die zentrale Überlegung, dass das Skalarprodukt jedes Normalenvektors einer Ebene mit dem Vektor, der einen x-beliebigen Punkt der Ebene mit dem Stützvektor verbindet, Null sein muss. Diese Überlegung wird durch folgende Gleichung ausgedrückt:

Da sie so zentral ist, erhält sie so wie die Koordinatenform einen eigenen Namen. Sie heißt Normalform und ist eine weitere Darstellungsform einer Ebene. Bei der Normalform spannt der Normalvektor $\vec{n}$ und ein Aufpunkt $\vec{A}$ die Ebene auf, das Skalarprodukt wird jedoch nicht (mit Distributivgesetz) aufgelöst. (Oder, wenn du von der Koordinatenform aus guckst,ist der Unterschied, dass der Normalenvektor $\vec{n}$ sozusagen ausgeklammert wurde.)

Beispielaufgaben

1.Aufgabe

Wandle folgende Normalenform in eine Koordinatenform um:$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}6\\-1\\-4\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\right]=0$

2.Aufgabe

Gegeben ist ein Punkt $P (3/8/-1)$ und ein Vektor $\vec{n} = (-4/2/1)$ Stelle eine Normalenform auf.

3.AufgabeNun der umgekehrte Weg. Gegeben ist folgende Koordinatenform:

Forme um, in die Normalenform: