Der Logarithmus zu einer Basis a ist die Umkehrfunktion von $a^x$ . Man schreibt ihn als ${\log }_a(x)$

$a^x=y\Rightarrow {\log }_{a}y=x$             

$2^x=8\Rightarrow {\log }_{2}8=x$

Die wichtigsten Spezialfälle sind der natürliche Logarithmus zu (Basis e) und der Logarithmus zu Basis 10. Oft schreibt man:

$\begin{array}{l}{\log }_e(x)=:\ln (x)\\ {\log }_{10}(x)=:\log (x)\end{array}$

Rechenregeln

Produktregel

Quotientenregel

Potenzregel

${\log }_a(b\cdot c)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$

${\log }_{\mathrm{a}}\left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}\right)={\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{b}-{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{c}$

${\log }_{\mathrm{a}}({\mathrm{b}}^{\mathrm{c}})=\mathrm{c}\cdot {\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{b}$

Spezialfälle

$\begin{array}{l}{\log }_{\mathrm{a}}(\mathrm{a}\cdot \mathrm{x})=1+{\log }_{a}x\\ \ln (\mathrm{e}\cdot \mathrm{x})=1+\ln \left(x\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}{\log }_{\mathrm{a}}(\frac{1}{x})=-{\log }_{a}x\\ \ln \left(\frac{1}{x}\right)=-\ln \left(x\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}{\log }_{\mathrm{a}}({\mathrm{a}}^{\mathrm{x}})=\mathrm{x}\\ \ln \left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)=\mathrm{x}\end{array}$      $\begin{array}{l}{\log }_{\mathrm{a}}(\mathrm{a})=1\\ \ln \left(\mathrm{e}\right)=1\end{array}$      $\begin{array}{l}{\log }_{\mathrm{a}}(1)=0\\ \ln \left(1\right)=0\end{array}$

Formel zur Berechnung

Kennt man den Logarithmus zu einer bestimmten Basis a, so kann man damit den Logarithmus zu einer beliebigen Basis b mit folgender Formel berechnen:

${\log }_b(x)=\frac{{\log }_a(x)}{{\log }_a(b)}$

Somit kann man beispielsweise Logarithmen zu einer beliebigen Basis mit dem Taschenrechner berechnen, auch, wenn dieser nur den natürlichen Logarithmus oder den Zehnerlogarithmus bereitstellt.

Beispiel

Berechnung von ${\log }_2(100)$ nur mit dem natürlichen Logarithmus:

${\log }_2(100)=\frac{\ln (100)}{\ln (2)}$

Die rechte Seite kann man leicht auch mit einem Taschenrechner berechnen, der nur den natürlichen Logarithmus bereitstellt.

/// Beispielaufgaben

///

Anwendung

Mit dem Logarithmus lassen sich unbekannte Potenzen bestimmen sowie etliche Gleichungen leichter lösen.

Beispiel

$2^x=156$

log anwenden

${\mathrm{log2}}^x=\mathrm{log1}$

Potenzregel anwenden

$x\cdot \mathrm{log2}=\mathrm{log1}$

$|:\mathrm{log2}$

$x=\frac{\mathrm{log1}}{\mathrm{log2}}$

$x=\mathrm{7,285}$

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