Aussagen mit Ursachen und Konsequenzen haben in der Mathematik, aber auch in unserem alltäglichen Leben, meistens eine bestimmte Leserichtung oder Reihenfolge. Das bedeutet, dass man die Ursache und die Konsequenz nicht einfach vertauschen kann. Klingt kompliziert? Keine Angst, in diesem Kurs mit Beispielen wirst du es ganz schnell verstehen!

Vorkenntnisse: keine

In diesem Kurs lernst du:

• Warum man weder im Alltag noch in der Mathematik Sätze nicht einfach umdrehen kann

• Was ein Kehrsatz ist und was Elsa damit zu tun hat

• Was eine Implikation und eine Äquivalenz sind und wie Mathematiker manchmal lange deutsche Sätze mit Symbolen verkürzen können

Kursdauer: 20 min

Erinnerst du dich, dass du im Deutschunterricht manchmal gegebene Sätze umstellen oder zu einem Satz zusammenfassen musstest? Wichtig dabei war, dass du den Sinn der Aussage nicht veränderst.

Zu Beginn des Kurses darfst du das noch einmal tun: Welche der folgenden Sätze sind sinnvolle Veränderungen des ursprünglichen Texts?

1. Wenn es schneit, bin ich fröhlich, denn ich gehe dann manchmal Schlittenfahren.

2. Ich bin immer traurig, wenn es nicht schneit, weil ich dann nicht Schlittenfahren kann.

3. Wenn ich fröhlich bin, dann fahre ich im Schnee mit meinem Schlitten.

4. Der Gedanke an Schlittenfahren im Schnee macht mich freudig.

Notiere dir die Nummern der sinnvollen Veränderungen. Die Antwort gibt es später im Kurs.

Ob in der Mathematik oder im Alltag: Viele Sätze sind so aufgebaut, dass eine Konsequenz passiert, weil etwas Bestimmtes zuvor gilt oder eingetreten ist.

Beim Schlitten-Beispiel auf der vorherigen Folie ist die Person - kurz gesagt - zum Beispiel immer glücklich, wenn es schneit.

Es gibt also eine klare Ursache: Schnee

Mit einer - laut der Person - immer eintretenden Konsequenz: Fröhlichkeit

Hier im Beispiel gilt: Aus Schnee folgt Fröhlichkeit.

Ein anderes Wort für "Folge", dass du wahrscheinlich im Alltag noch nicht so häufig gehört hast, ist Implikation.

Statt "Aus A folgt B" kann man auch sagen "A impliziert B".

Da die meisten Mathematiker sehr schreibfaul sind, haben sie sich für diese häufige Beziehung auch ein extra Symbol einfallen lassen: Den Implikationspfeil $\Rightarrow \backslash Rightarrow$

Für das Schlitten-Beispiel bedeutet das:

Schnee impliziert Fröhlichkeit, oder kurz: Schnee $\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Fröhlichkeit

Gilt eine Implikation nicht, so kann man den Pfeil einfach durchstreichen:

Hier fehlen noch Übungsaufgaben, die den Lernenden helfen sollen, Ursachen und Konsequenzen richtig zu erkennen und die Schreibweise einzuüben.

Für den Schlittenfahrer gilt also: Schnee $\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Fröhlichkeit

Was passiert jetzt, wenn du Ursache und Konsequenz vertauscht?

Nun, zunächst einmal erhält man dadurch den Kehrsatz:

Für die Aussage des Schlittenfahrers kann man leicht den Kehrsatz bilden. Mit dem Implikationspfeil ist das schnell und kurz hingeschrieben:

Schnee $\Leftarrow \backslash Leftarrow$ Fröhlichkeit

Aber stimmt das denn?

Sicher ist es für dich schon auf der ersten Folie kristallklar gewesen, dass nicht jede Umstellung des Satzes möglich ist.

Frischer Schnee bedeutet zwar immer, dass diese Person fröhlich ist, aber bloß, weil die Person fröhlich ist, schneit es nicht automatisch (außer vielleicht, man heißt Elsa und spielt in einem sehr erfolgreichen Kinder-Film).

In diesem Beispiel gilt der Kehrsatz im Allgemeinen nicht. Der Kehrsatz ist also keine Implikation und der Fehler von oben muss schnell verbessert werden:

Schnee $\nLeftarrow \backslash nLeftarrow$ Fröhlichkeit

Hier fehlen noch Übungsaufgaben, die den Lernenden helfen sollen, Kehrsätze zu formulieren und über die Gültigkeit zu entscheiden.

Genug von Schnee und Schlittenfahren! Es ist Zeit für den Sommer.

Sieht man einen Äquivalenzpfeil, so bedeutet das, dass die Aussage von beiden Seiten gelesen werden kann.

Für das Sommerzeit-Beispiel gilt also:

Sommer $\iff \backslash Leftrightarrow$ länger hell

Zu Beginn hattest du zu einem Satz vier mögliche Veränderungen gegeben und solltest entscheiden, ob die Kernaussage gleich bleibt. Mit dem Wissen, dass du im Kurs erhalten hast, kannst du deine ursprüngliche Wahl jetzt überprüfen und anpassen:

Hier fehlen noch Übungsaufgaben, die die Inhalte des Kurses vernetzen und den Lernerfolg überprüfen.

In (mathematischen) Sätzen gibt es häufig Ursachen und Konsequenzen.

Dabei implizieren die Ursachen die Konsequenzen: Ursachen $\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Konsequenzen

Zu jedem (mathematischen) Satz gibt es auch einen Kehrsatz, der Ursachen und Konsequenzen vertauscht. Dieser Kehrsatz kann, muss aber nicht zwingend gelten

Gelten sowohl Satz als auch Kehrsatz, so spricht man von einer Äquivalenz: Ursachen $\iff \backslash Leftrightarrow$ Konsequenzen

Beispiel für Implikation (Kehrsatz gilt nicht):

Jeder Dackel ist ein Hund. (Aber nicht jeder Hund ist ein Dackel)

Beispiel für Äquivalenz:

Wenn ich Haustierbesitzer bin, habe ich ein Haustier. Wenn ich ein Haustier habe, bin ich Haustierbesitzer.