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6. Relationen

Veranschaulichung einer Relation

Veranschaulichung einer Relation

Mit Relationen kannst du Beziehungen zwischen Dingen ausdrücken. Beispielsweise kannst du mit einer Relation zwischen den Mengen {Kuh,Schaf,Ziege,Fisch}\{\text{Kuh},\text{Schaf},\text{Ziege},\text{Fisch}\} und {"Muh","Ma¨h",""}\{\text{"Muh"},\text{"Mäh"},\text{""}\} ausdrücken, welche Elemente der einen Menge mit welchen Elementen der anderen Menge in Beziehung stehen, also hier, welches Tier welchen Laut geben kann.

DefinitionRelation

Seien A,BA,B Mengen. Eine Relation RR ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts

Das kartesische Produkt ist die Menge der geordneten Paare (a,b)\left(a,b\right) mit aAa\in A und bBb\in B.

Eine Relation ist einfach irgendeine Teilmenge eines kartesischen Produkts von zwei Mengen - es kommt zunächst nicht darauf an, ob die Relation irgendeinen Sinn ergibt.

Statt (a,b)R(a,b)\in R schreibst du meist aRbaR b - insbesondere, wenn der Name der Relation kein Buchstabe wie RR ist, sondern irgendein schönes Symbol, z. B. \leq oder \lhd.

Beispielsweise definierst du die Relation aus der obigen Einleitung als "kann sagen", bezeichnet mit dem Symbol \lhd, in folgender Weise:

Relation

Damit gilt beispielsweise Folgendes: Kuh \lhd "Muh", Kuh \lhd " " und Ziege \lhd "Mäh". Die Kuh kann "Muh" sagen, sie kann auch " " sagen, die Ziege kann "Mäh" sagen.

Relationen auf einer Menge AA

Es ist ohne Weiteres möglich, dass AA und BB dieselbe Menge sind. Man spricht dann von einer Relation auf der Menge AA.

Eine Relation auf der Menge A={1,2,3,4}A = \{1{,}2,3{,}4\} ist beispielsweise die Relation << ("ist kleiner"):

Die Relation besteht aus allen Paaren (a,b)A×B(a,b) \in A \times B, für die gilt a<ba<b.

Du kannst dir die Relation auf einer Menge AA auf zwei Arten bildlich veranschaulichen: wie oben gesehen durch ein Pfeildiagramm, das für jedes Paar (a,b)(a,b) der Relation einen Pfeil von aa nach bb enthält (links in der untenstehenden Abbildung), oder auch durch einen Graphen, dessen Knoten die Elemente der Menge AA sind und der eine Kante vom Knoten aa zum Knoten bb enthält, wenn das Paar (a,b)(a,b) ein Element der Relation ist (rechts in der untenstehenden Abbildung).

Relation

Veranschaulichung einer Relation durch Pfeildiagramm bzw. Graph

Eigenschaften von Relationen

Du kannst Relationen anhand bestimmter Eigenschaften klassifizieren:

Eine Relation RR auf der Menge AA heißt

reflexiv, wenn für alle aAa \in A gilt:

symmetrisch, wenn für alle a,bAa,b \in A gilt:

asymmetrisch, wenn für alle a,bAa,b \in A gilt:

antisymmetrisch, wenn für alle a,bAa,b \in A gilt:

transitiv, wenn für alle a,b,cAa,b,c \in A gilt:

total, wenn für alle a,bAa,b \in A gilt:

Beispiele

Zugrundegelegt ist die Menge A={1,2,3}A = \{1{,}2,3\}. Betrachte die Eigenschaften folgender Relationen auf der Menge AA.

  • Die Relation {(1,1),(1,2),(2,2),(3,3)}\{(1{,}1), (1{,}2), (2{,}2), (3{,}3)\} ist reflexiv.

  • Die Relation {(1,2),(2,1)}\{(1{,}2), (2{,}1)\} ist symmetrisch.

  • Die Relation {(1,2),(2,3)}\{(1{,}2), (2{,}3)\} ist asymmetrisch.

  • Die Relation {(1,2),(2,3),(3,3)}\{(1{,}2), (2{,}3), (3{,}3)\} ist antisymmetrisch (aber nicht asymmetrisch).

  • Die Relation {(1,2),(2,3),(1,3)}\{(1{,}2), (2{,}3), (1{,}3)\} ist transitiv.

  • Die Relation {(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,1),(3,3)}\{(1{,}1), (1{,}2), (2{,}2), (2{,}3), (3{,}1), (3{,}3)\} ist total.

Manche Relationen haben gleich mehrere der oben angegebenen Eigenschaften.

  • Eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, heißt Äquivalenzrelation.

  • Eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist, heißt Halbordnung.

  • Eine Halbordnung, die total ist, heißt (totale oder lineare) Ordnung.

Typische Beispiele sind folgende:

  • Die Relation (modn)\equiv \pmod n auf der Menge der ganzen Zahlen Z\Z ist eine Äquivalenzrelation. Zwei ganze Zahlen stehen in dieser Relation "ist kongruent modulo nn", wenn sie bei ganzzahliger Division durch nn denselben Rest ergeben. So gilt zum Beispiel 2431(mod7)24 \equiv 31 \pmod 7, denn beide Zahlen ergeben den Rest 3 bei Division durch 7.

  • Die Relation \subseteq ("ist enthalten in") auf der Potenzmenge P(M){\cal P}(M) einer Menge MM ist eine Halbordnung. Die Relation ist reflexiv, weil jede Menge AA in sich selbst enthalten ist, sie ist antisymmetrisch, weil wenn AA in BB enthalten ist und BB in AA, dann gilt A=BA=B. Und sie ist transitiv, denn wenn AA in BB enthalten ist und BB in CC, dann ist auch AA in CC enthalten.

  • Die Relation \le ("kleiner oder gleich") auf der Menge der reellen Zahlen ist eine totale Ordnung.

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