🎓 Ui, fast schon Prüfungszeit? Hier geht's zur Mathe-Prüfungsvorbereitung.
Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

4. Beweise

In der Mathematik spielt das Beweisen von Aussagen eine zentrale Rolle. Von der Schule her ist dir das Beweisen wahrscheinlich weniger geläufig, dort geht es in der Mathematik mehr ums Rechnen. Und vielleicht denkst du auch: "Wozu soll ich beweisen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt – das weiß man doch!"

Aber einen schönen Beweis, man sagt auch einen eleganten Beweis zu führen, macht einfach Spaß! Vor allem dann, wenn du den Beweis selber gefunden hast. Aber auch dann, wenn du den Beweis nur nachvollziehst - vielleicht gelingt es dir, den Beweis noch zu vereinfachen.

Aussagen beweisen

Es gibt verschiedene Beweistechniken. Du lernst sie im Folgenden anhand einer durchgängigen, sehr einfachen Aussage kennen. Später dann wendest du die Beweistechniken auf bedeutsamere Aussagen an.

Direkter Beweis

Der direkte Beweis entspricht dem Schema

Du gehst von einer wahren Aussage AA aus und zeigst, dass daraus die Behauptung BB folgt. Damit hast du die Behauptung BB bewiesen.

Beispiel

Du willst zeigen: Wenn eine beliebige Zahl nn ungerade ist, dann ist auch ihr Quadrat n2n^2 ungerade.

Die Aussage AA ist hier also "nn ist ungerade". Die Behauptung BB ist hier "n2n^2 ist ungerade".

Über mehrere Zwischenschritte zeigst du ABA \Rightarrow B folgendermaßen:

n ist ungerade    n=2m+1   n2=4m2+4m+1  n ~\text{ist ungerade}~ ~ \Rightarrow ~ n = 2m + 1 ~  \Rightarrow ~ n^2 = 4m^2 + 4m + 1 ~~ \Rightarrow

n2=2(2m2+2m)+1    n2 ist ungeraden^2 = 2(2m^2 + 2m) + 1 ~~\Rightarrow ~ n^2 ~ \text{ist ungerade}

Hierbei benutzt du die Tatsache, dass die ungeraden Zahlen definitionsgemäß genau diejenigen Zahlen sind, die sich als Vielfaches von 2 plus 1 darstellen lassen.

Indirekter Beweis: Kontraposition

Die Kontraposition entspricht dem Schema

Du willst ABA \Rightarrow B zeigen, aber stattdessen beweist du die äquivalente Aussage ¬B¬A\neg B \Rightarrow \neg A.

Beispiel

Wieder ist die Aussage AA hier "nn ist ungerade" und die Behauptung BB hier "n2n^2 ist ungerade". Die Aussage "n2n^2 ist gerade" entspricht also ¬B\neg B. Eine gerade Quadratzahl hat die Form n2=4m2n^2 = 4m^2. Damit ist n=2mn = 2m gerade. Also gilt ¬A\neg A.

Indirekter Beweis: Widerspruchsbeweis

Der Widerspruchsbeweis entspricht dem Schema

Etwas Falsches (00 entspricht false) kann aber nur aus etwas Falschem folgen, also ist ¬B\neg B falsch und BB damit wahr.

Du führst den Beweis, dass die Behauptung BB gilt, indem du die Annahme machst, dass ¬B\neg B gelte. Dann führst du die Annahme zum Widerspruch, d. h. du leitest aus der Annahme etwas ab, das nicht sein kann, also etwas Falsches. Damit ist die Annahme falsch und die Behauptung wahr.

Beispiel

Wieder ist die Aussage AA hier "nn ist ungerade" und die Behauptung BB hier "n2n^2 ist ungerade".

Es sei nn ungerade, also n=2m+1n=2m+1 und damit n2=4m2+4m+1n^2 = 4m^2 + 4m + 1.

Behauptung: n2n^2 ist ungerade.

Annahme des Gegenteils: n2n^2 ist gerade.

Dann hat n2n^2 die Form n2=2kn^2=2k und es gilt

4m2+4m+1 = 2k4m^2 + 4m + 1 ~=~ 2k

 1 = 2k2(2m2+2m) = 2(k2m22m)\Rightarrow ~ 1 ~=~ 2k - 2(2m^2 +2m) ~=~ 2(k-2m^2-2m)

 ½ = k2m22m\Rightarrow ~ ½ ~=~ k-2m^2-2m

Links steht ½, aber rechts steht eine ganze Zahl, dies ist ein Widerspruch. Damit ist die Annahme falsch und die Behauptung wahr. Also gilt: n2n^2 ist ungerade.

Beweis mit vollständiger Induktion

Vollständige Induktion eignet sich immer dann, wenn du eine Aussage beweisen möchtest, die für alle nn gilt.

Dein Beweis besteht aus zwei Schritten:

  • Du beweist, dass die Aussage für n=1n=1 gilt (Induktionsanfang);

  • du beweist, dass unter der Voraussetzung, dass die Aussage für beliebiges nn gilt, sie auch für n+1n+1 gilt (Induktionsschritt).

Du kannst dir vorstellen, dass ein Induktionsbeweis wie eine Kette umfallender Dominosteine durchklappert: Alle Dominosteine fallen um, wenn du dafür sorgst, dass

  • der erste Dominostein umfällt (Induktionsanfang),

  • unter der Voraussetzung, dass ein beliebiger Dominostein umfällt, stets auch der folgende Dominostein umfällt (Induktionsschritt).

Beispiel

Du willst die Aussage "n2n^2 ist ungerade" für alle ungeraden Zahlen nn per vollständiger Induktion zeigen. Dies tust du in zwei Schritten:

  • Du beweist, dass die Aussage für n=1n = 1 gilt (Induktionsanfang),

  • du beweist, dass unter der Voraussetzung, dass die Aussage für eine beliebige ungerade Zahl nn gilt, sie auch für die nächste ungerade Zahl n+2n+2 gilt (Induktionsschritt).

Und hier ist nun der Beweis:

Induktionsanfang: Für die ungerade Zahl n=1n=1 gilt n2=1n^2 = 1 ist ungerade.

Induktionsschritt: Für die auf eine beliebige ungerade Zahl nn folgende ungerade Zahl n+2n+2 gilt (n+2)2=n2+4n+4(n+2)^2 = n^2 + 4n + 4 ist ungerade, da nach Induktionsvoraussetzung n2n^2 ungerade ist und das Ergebnis nach Addition der zwei geraden Zahlen 4n4n und 44 ungerade bleibt.

Beweistechniken richtig anwenden

Welchen der vier angegebenen Beweise findest du am besten? Den direkten Beweis? Oder die Kontraposition oder den Widerspruchsbeweis? Womöglich gar den Induktionsbeweis?

Meist ist der direkte Beweis der eleganteste - so auch hier für die Aussage dieses Beispiels. Die indirekten Beweise und der Induktionsbeweis sind hier eher umständlich. Aber manchmal ist es auch anders. Manchmal ist ein direkter Beweis nicht möglich oder zu umständlich oder zu wenig anschaulich, und eine andere Beweistechnik ist eleganter.

Beispiel für einen Widerspruchsbeweis

Behauptung: 2\sqrt{2} ist irrational.

Annahme des Gegenteils: 2\sqrt{2} ist rational. Dann lässt sich 2\sqrt{2} darstellen als gekürzter Bruch pq\frac{p}{q} mit ganzen, teilerfremden Zahlen pp und qq:

Durch Quadrieren der Gleichung ergibt sich

und damit 2q2=p22q^2 = p^2. Da links eine gerade Zahl steht, muss p2p^2 gerade sein und damit auch pp, also p=2rp=2r. Damit gilt 2q2=4r22q^2 = 4r^2 oder q2=2r2q^2 = 2r^2. Damit ist q2q^2 gerade und damit auch qq.

Hieraus ergibt sich ein Widerspruch zur Annahme, dass pp und qq teilerfremd sind. Denn wenn pp und qq beide gerade sind, dann sind sie nicht teilerfremd, sondern enthalten 2 als gemeinsamen Teiler.

Also ist die Annahme falsch und die Behauptung ist wahr: 2\sqrt{2} ist irrational.

Beispiel für vollständige Induktion

Behauptung: Für jedes nNn\in \mathbb{N} gilt: Die Summe der ersten nn ungeraden Zahlen ist gleich n2n^2:

Induktionsanfang: n=1n=1

Induktionsschritt: Die Behauptung sei für beliebiges nn wahr. Dann gilt sie auch für n+1n+1:

Aufgaben

Übungsaufgaben


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0Was bedeutet das?