Oft haben Äußerungen über (mathematische) Objekte noch Parameter und sind für gewisse Werte dieser Parameter wahr und für andere falsch, z.B. Aussage mit Parameter .
So etwas nennt man eine Aussagenform und es kann z.B. interessieren, für welche Werte sich welcher Wahrheitswert einstellt.
Quantoren
Für zwei spezielle Situationen gibt es eigene Symbole, die Quantoren:
der Allquantor wie in
den Existenzquantor wie in
Aussagen und ihre Beweise
Wesentlicher Inhalt der Mathematik: Aussagen und ihre Beweise.
Mit den vorgestellten Mitteln sind wir nun in der Lage, Behauptungen formal aufzuschreiben. Um diese formalen Behauptungen zu beweisen, bzw. die Aussagen auf Wahrheit zu prüfen, gibt es nun verschiedene Beweistechniken, die wir uns anschauen wollen.
Beweistechniken
Direkter Beweis
Im direkten Beweis startet man mit Aussagen, deren Richtigkeit angenommen wird und leitet daraus neue Aussagen her, die - unter dieser Annahme - dann auch gelten.
Widerspruchsbeweis
Man nimmt das Gegenteil der Behauptung an und leitet daraus einen Widerspruch her - und wenn das Gegenteil nicht sein kann, muss die Behauptung wahr sein.
Beispiele
ist irrational (kein Bruch).
Annahme: teilerfremd. Dann muss gerade sein, gerade.
"Ein Schachbrett, dem zwei diagonal gegenüberliegende Ecken fehlen, kann nicht mit Dominosteinen lücken- und überschneidungslos ausgefüllt werden"'
Wir nehmen das Gegenteil an, also dass es eine Anordnung von Dominosteinen gibt, die das Feld ausfüllen.
Jeder Dominostein belegt genau ein weißes und ein schwarzes Feld.
Dann belegt eine beliebige Menge von Dominosteinen genauso viele weiße wie schwarze Felder.
Das fragliche Gebiet hat aber nur 30 weiße (und 32 schwarze) Felder.
Das ist der Widerspruch: wenn es eine Anordnung gäbe, würde sie einerseits genauso viele weiße wie schwarze Felder bedecken, andererseits aber zwei schwarze Felder mehr als weiße.
Vollständige Induktion
Eine andere Standardtechnik ist die vollständige Induktion: wenn eine Aussage für wahr ist und für alle ganzen Zahlen die Implikation gilt, dann ist für alle wahr.
Beispiel
Für jedes gilt
Induktionsanfang: :
Induktionsschritt: sei und die Behauptung sei für wahr.Dann gilt sie auch für :
Aufgaben
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