Dein Freund kauft bei einer großen Fastfood-Kette eine wilde Mischung aus Hamburger und Cheeseburger. Die Anzahl aller Burger beträgt 1212 und kosten zusammen 12,6812,68 Euro.
Es gilt: Ein Hamburger kostet 0,990,99 Euro und ein Cheeseburger 1,191,19 Euro.
Stelle mit den Informationen aus dem Text ein lineares Gleichungssystem auf.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem

Tipp: Bezeichne mit xx die Anzahl der Hamburger und mit yy die Anzahl der Cheeseburger.
Zunächst bezeichne die Größen mit geeigneten Variablen:
Anzahl der Hamburger =^\widehat{=} xx
Anzahl der Cheeseburger =^\widehat{=} yy
Als nächstes musst du alle Informationen ordnen. Einerseits hast du Mengenangaben und andererseits hast du Geldangaben.
Wichtig: xx und yy sind in beiden Angaben enthalten.
Also:
Mengenangaben: xx Hamburger, yy Cheeseburger, Gesamtanzahl: 1212 Burger
Geldangaben: 0,99x0,99\cdot x Euro, 1,19y1,19\cdot y Euro, 12,6812,68 Euro
Im letzten Schritt stellst du aus den jeweiligen Angaben eine Gleichung auf.
Die erste Gleichung erhältst du durch die Information, dass xx Hamburger und yy Cheeseburger sich zu 1212 Burger addieren.
Ix+y=12\displaystyle \mathrm{I}\qquad x + y = 12
Die zweite Gleichung erhältst du durch die Information, dass 0,99x0,99\cdot x Euro und 1,19y1,19\cdot y Euro sich zu 12,6812,68 Euro addieren.
II0,99x+1,19y=12,68\displaystyle \mathrm{II}\qquad 0,99\cdot x + 1,19\cdot y = 12,68
Zeige, dass x=8x = 8 Hamburger und y=4y = 4 Cheeseburger eine Lösung des Gleichungssystems ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem

Tipp: Du musst hier nicht das lineare Gleichungssystem ausrechnen. Es geht viel einfacher!
Wenn du zeigen möchtest, dass xx und yy eine Lösung eines beliebigen linearen Gleichungssystems ist, musst du die Unbekannten in die Gleichungen des Systems einsetzen. Am Ende muss jede Gleichung eine wahre Aussage ergeben.
Setze also x=8x = 8 und y=4y = 4 in die Gleichungen ein:
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &x + y &= &12 \\\mathrm{II} &0,99\cdot x + 1,19\cdot y &= &12,68\end{array}%%
Setze die Werte ein.
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &\color{#CC0000}{8} + \color{#009999}{4} &= &12 \\\mathrm{II} &0,99\cdot \color{#CC0000}{8} + 1,19\cdot \color{#009999}{4} &= &12,68\end{array}%%
Rechne aus. Falls links und rechts die gleiche Zahl steht, ist die Aussage wahr.
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &\color{#FF6600}{12} &= &12 \\\mathrm{II} &\color{#FF6600}{12,68} &= &12,68\end{array}%%

Du siehst sofort, dass x=8x = 8 Hamburger und y=4y = 4 Cheeseburger eine wahre Aussage liefern.
Warum gibt es nur genau eine Lösung?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem

Ein lineares Gleichungssystem kann entweder keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen haben.
Die Gleichungen sind linear und nicht identisch. Zudem gibt es nur 22 Gleichungen. Damit gibt es maximal nur einen Schnittpunkt. Maximal ein Schnittpunkt bedeutet, dass es entweder keinen oder einen Schnittpunkt gibt. Aus Aufgabenteil b) weißt du aber schon, dass ersteres nicht stimmt, da x=8x = 8 und y=4y = 4 eine Lösung ist. Deswegen hat das Gleichungssystem genau eine Lösung.