4Lösung 1f

Aufgabenstellung

$1$ Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto \; e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}$. Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet.

$a)$ Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $G_f$ mit der $y$-Achse und begründen Sie, dass $G_f$ oberhalb der $x$-Achse verläuft. (2 BE)

$b)$ Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von $G_f$ sowie das Verhalten von $f$ für $x \to -\infty$ und für $x \to \infty$. (3 BE)

$c)$ Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung $f''$ von $f$ die Beziehung $f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)$ für $x\in \mathbb{R}$ gilt. Weisen Sie nach, dass $G_f$ linksgekrümmt ist. (4 BE)

$\rightarrow$ Zur Kontrolle: $f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)$

$d)$ Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von $G_f$. (3 BE)

$e)$ Berechnen Sie die Steigung der Tangente $g$ an $G_f$ im Punkt $P(2|f(2))$ auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt $P$ und die Gerade $g$ in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: $-4\leq x\leq4$, $-1 \leq y \leq 9$). (3 BE)

Lösung

Berechnung von $f(4)$

$f(4)=e^{\frac{1}{2}\cdot 4}+e^{-\frac{1}{2}\cdot 4}$

$f(4)=e^{2}+e^{-2}$

$f(4)\approx 7{,}52$

Graph von $G_f$

Zeichne nun den Graphen, du kennst schon:

• den Extrempunkt $EP(0|2)$

• den Punkt $P(2|3{,}1)$

• den Punkt $(4|7{,}52)$

• das Verhalten im Unendlichen

• die Symmetrie zur y-Achse

Insgesamt ergibt sich folgender Graph: