Die Lösung dieser Aufgabe kannst du im folgenden Text lesen oder einem Video weiter unten ansehen.

Definitionsmenge bestimmen

Zum Beginn musst du die Definitionsmenge der Bruchgleichung bestimmen. Diese kannst du bestimmen, indem du die Definitionslücken der Bruchgleichung bestimmst.

Wie du dich vielleicht erinnerst, entseht eine Lücke genau bei der Zahl, wo einer der Nenner $00$ werden würde. Man darf nämlich nicht durch $00$ teilen.

Setzte nun die einzelnen Nenner nacheinander gleich $00$:

Nenner des ersten Bruchs

Der Nenner des zweiten Bruchs:

Der Nenner des dritten Bruchs:

Du erkennst also, dass hier $-1-1$, $00$ und $11$ die Definitionslücken von der Bruchgleichung sind.

Somit ist die Definitionsmenge der Bruchgleichung:

$D=\mathbb{Q}\mathrm{\backslash }\{-\mathrm{1,0},1\}D=\backslash mathbb\{Q\}\backslash backslash\backslash left\backslash \{-1\{,\}0,1\backslash right\backslash \}$.

Gleichung bruchterm-frei machen

Der nächste Schritt ist die Gleichung von Brüchen zu befreien. Dies schafft man, mithilfe des Hauptnenners.

${\displaystyle \frac{4}{x-1}+\frac{5}{x}=\frac{3}{x+1}}\backslash displaystyle\backslash frac\{4\}\{x-1\}+\backslash frac\{5\}\{x\}=\backslash frac\{3\}\{x+1\}$

wird zu:

${\displaystyle \frac{4\cdot x\cdot (x+1)}{(x-1)\cdot x\cdot (x+1)}+\frac{5\cdot (x-1)\cdot (x+1)}{x\cdot (x-1)\cdot (x+1)}=\frac{3\cdot x\cdot (x-1)}{(x+1)\cdot x\cdot (x-1)}}\backslash displaystyle\backslash frac\{4\backslash cdot\; x\backslash cdot(x+1)\}\{(x-1)\backslash cdot\; x\backslash cdot(x+1)\}+\backslash frac\{5\backslash cdot(x-1)\backslash cdot(x+1)\}\{x\backslash cdot(x-1)\backslash cdot(x+1)\}=\backslash frac\{3\backslash cdot\; x\backslash cdot(x-1)\}\{(x+1)\backslash cdot\; x\backslash cdot(x-1)\}$

Jetzt multiplizieren wir die Gleichung mit dem Hauptnenner und erhalten:

${\displaystyle 4\cdot x\cdot (x+1)+5\cdot (x-1)\cdot (x+1)=3\cdot x\cdot (x-1)}\backslash displaystyle4\backslash cdot\; x\backslash cdot(x+1)+5\backslash cdot(x-1)\backslash cdot(x+1)=3\backslash cdot\; x\backslash cdot(x-1)$

Ausmultiplizieren der Klammern

${\displaystyle 6\cdot x^2+7\cdot x-5=0}\backslash displaystyle6\backslash cdot\; x^2+7\backslash cdot\; x-5=0$

Gleichung lösen

Jetzt bestimmst du die möglichen Lösungen dieser Gleichung mit der Mitternachtsformel:

${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-7\pm \sqrt{7^2-4\cdot 6\cdot (-5)}}{2\cdot 6}={\displaystyle \frac{-7\pm \sqrt{49+120}}{2\cdot 6}=\frac{-7\pm \sqrt{169}}{12}=\frac{-7\pm 13}{12}}}\backslash displaystyle\; x\_\{1\{,\}2\}=\backslash frac\{-7\backslash pm\backslash sqrt\{7^2-4\backslash cdot6\backslash cdot(-5)\}\}\{2\backslash cdot6\}=\backslash displaystyle\; \backslash frac\{-7\backslash pm\backslash sqrt\{49+120\}\}\{2\backslash cdot6\}=\backslash frac\{-7\backslash pm\backslash sqrt\{169\}\}\{12\}=\backslash frac\{-7\backslash pm13\}\{12\}$

Die möglichen Lösungen sind also:

Als letzter Schritt ist es wichtig zu überprüfen, ob alle Lösungen im Definitionsbereich liegen.

Der Definitionsbereich ist $D=\mathbb{Q}\mathrm{\backslash }\{-\mathrm{1,0},1\}D=\backslash mathbb\{Q\}\backslash backslash\backslash left\backslash \{-1\{,\}0,1\backslash right\backslash \}$ und $\frac{1}{2}\backslash frac\{1\}\{2\}$, genauso wie $-\frac{5}{3}-\backslash frac\{5\}\{3\}$ liegen in $DD$.

Also sind $\frac{1}{2}\backslash frac\{1\}\{2\}$ und $-\frac{5}{3}-\backslash frac\{5\}\{3\}$ die Lösungen der Bruchgleichung ${\displaystyle \frac{4}{x-1}+\frac{5}{x}=\frac{3}{x+1}}\backslash displaystyle\backslash frac\{4\}\{x-1\}+\backslash frac\{5\}\{x\}=\backslash frac\{3\}\{x+1\}$.

Lösung der Aufgabe in einem Video

Du kannst in folgendem YouTube-Video die Lösung von Robert Plötz auch nachvollziehen: