Herleitung der Koordinaten durch die Normalenform
Bisher wurde nur erklärt, das alle Punkte mit 3 Koordinaten, die jeweils eine Lösung einer Koordinatengleichung sind, in einer Ebene liegen. Nun wird eklärt, warum dies so ist.
Im Applet unten siehst du eine Ebene, die von einem Stützvektor angesteuert wird und in ihr liegen die beiden Richtungsvektoren. Der rote Vektor dagegen ist neu in der Darstellung. Er steht senkrecht auf der Ebene und heißt Normalenvektor. Dreh einmal das Applet und schau dir den beschriebenen Sachverhalt an.
Wichtig ist, dass ein Normalenvektor immer senkrecht auf einer Ebene steht. Ein Vektor, der nicht senkrecht auf einer Ebene steht, ist also auch kein Normalenvektor.
Im folgenden Applet ist ein Punkt A dargestellt, zu dem ein roter Stützvektor vom Ursprung aus führt. Weiterhin siehst du einen beliebigen Punkt X, den du auch verschieben kannst.
Die beiden schwarzen Pfeile zeigen dir anschaulich, wie die beiden dir bekannten Spannvektoren der Parameterdarstellung verlängert oder verkürzt werden müssen, um zu diesem Punkt X zu kommen. Jetzt geht es aber um den orangenen Vektor
. Offensichtich steht der im zweiten Applet grün eingezeichnete Normalenvektor senkrecht zum orangenen Vektor
. Du kannst den Punkt X in der Ebene an jede x-beliebige Stelle schieben und der orangene und gründe Vektor werden immer senkrecht zueinander stehen. Algebraisch bedeutet dies, dass ihr Skalarprodukt immer Null ist.
Stell dir vor, der Punkt X würde nicht mehr in der Ebene liegen, sondern ein Stückchen über oder unter ihr. Dann würde der orangene Vektor auch nicht mehr senkrecht zum grünen Vektor sein. Dann wäre ihr Skalarprodukt auch nicht mehr Null.
Nun geht es darum, den soeben beschriebenen Zusammenhang algebraisch zu formulieren, um die Koordinatenform einer Ebene herzuleiten.
Zuerst überlegen wir uns, wie der orangene Vektor berechnet werden kann. Er führt vom Punkt A, der Pfeilspitze des Stützvektors, zu einem x-beliebigem Punkt X in der Ebene. Er kann für jeden beliebigen Punkt berechnet werden durch:
. Oben hast du gesehen, dass der orangene Vektor zum grünen Normalenvektor senkrecht steht. Also gilt:
Diese Gleichung besagt: Das Skalarprodukt von Stützvektor mit einem Vektor, der zwischen einem Punkt A in der Ebene und irgendeinem beliegiem anderen Punkt in der Ebene geht, ist Null.
Um nun zu der Koordinatenform zu gelangen, müssen wir nur noch algebraische Umformungen vornehmen.
Zuerst wird das Distributivgesetz angewandt, um die Klammer aufzulösen:
Danach können wir den rechten Summanden auf die andere Seite der Gleichung bringen:
Nun multipliziert man beide Seiten der Gleichungen nach der Definition des Skalarproduktes aus:
Auf der linken Seite der Gleichung steht also das Skalarprodukt eines Vektor OX mit einem Normalenvektor n. OX ist ein Ortsvektor zu irgeneinem beliebigen Punkt in der Ebene, den wir nicht kennen. Der Normalenvektor n ist der senkrecht auf der Ebene stehende Vektor, dessen Koordinaten bekannt sein müssen.
Auf der rechten Seite der Gleichung steht das Skalarprodukte eines Vektors OA mit dem Normalenvektor n. Beide Vektoren müssen ebenfalls bekannt sein. Weil beide Vektoren bekannt ist, ist das Ergebnis dieses Skalarpoduktes eine Zahl, für die man auch einfach
schreiben kann:
Allgemeine Form einer Koordinatengleichung:
In dieser Form stehen die drei Buchstaben für die drei Koordinaten des Normalenvektors. Er ist in der Regel bekannt. Die drei Buchstaben stehen für die drei Koordinaten eines beliebigen und unbekannten Vektors. Der Buchstabe auf der rechten Seite ist das Ergebnis des Skalarproduktes eines bekannten Stützvektors der Ebene mit dem Normalenvektor.
Schau dir noch einmal das obige Geogebra-Applet an. Dort ist grüne Normalenvektor n=(0,0,1). Der rote Stütz-Vektor OA hat die Koorinaten (1,1,1). Also ist eine Koordinatenform der Ebene:
also lautet die Ebenegleichung zu der Ebene im Applet:
Unter folgendem Link kannst du noch einmal testen, ob du die Herleitung verstanden hast, indem du die einzelnen Begründungsschritte in die richtige Reihenfolge bringst:
