03. Zahlensysteme - Umwandlung von Dezimalzahlen in Dualzahlen

Einführung

Wie man eine Dualzahl in eine Dezimalzahl umwandeln kann, wurde bereits auf der letzten Seite gezeigt: einfach die Potenzwerte der einzelnen Stellen addieren. So erhält man beispielsweise für die Dualzahl %%11_{2}%% im Dezimalsystem %%1*2^{1} + 1*2^{0} = 2+ 1 = 3_{10}%%.

Der Weg von einer Dezimalzahl zu einer Dualzahl ist etwas aufwändiger, aber ebenfalls nicht schwer.

Variante "Scharf hinschauen"

Bei kleineren Dezimalzahlen oder ausreichendem mathematischem Vorstellungsvermögen kann man folgendes Vorgehen anwenden, für die ein "scharfes Hinschauen" nötig ist:

  1. Schauen, welcher höchste binäre Stellenwert in die Dezimalzahl hineinpasst.
  2. Falls ein Rest übrigbleibt, Schritt 1 wiederholen.
  3. Alle "genutzten" Stellenwerte erhalten bei der Dualzahl eine 1, alle anderen eine 0.

Dies wird nun am Beispiel der Dezimalzahl %%13_{10}%% durchgeführt:

  1. Der größte duale Stellenwert, der in die %%13_{10}%% hineinpasst, ist %%2^3%% (entspricht 8). Also steht an der Stellennummer 3 der Dualzahl schon einmal eine 1.
  2. Als Rest bleibt %%5_{10}%% (da 13 - 8 = 5). Der höchste hier hineinpassende Stellenwert ist %%2^2%% (entspricht 4). An der Stellennummer 2 der Dualzahl steht somit auch eine 1.
  3. Als Rest davon bleibt %%1_{10}%% (da 5 - 4 = 1). Der höchste hier hineinpassende Stellenwert ist %%2^0%% (entspricht 1). An der Stellennummer 0 der Dualzahl steht ebenso eine 1.
  4. Es verleibt kein weiterer Rest (da 1 - 1 = 0). In den vorangegangenen Schritten wurden die dualen Stellenwerte mit den Stellennummern 3,2 und 0 genutzt. Diese haben bei der Dualzahl folglich die Ziffer 1, alle anderen die Ziffer 0. Also ergibt sich folgendes Ergebnis:

%%13_{10} = 1101_{2}%%

Variante "Systematischer Rechenweg"

Dieses Vorgehen lässt sich auch systematisieren, so dass kein scharfes Hinschauen mehr nötig ist - nur eventuell ein paar mehr Rechenschritte. Dafür ist es jedoch auch problemlos für größere Dualzahlen einsetzbar.

Ganzzahlige Dezimalzahlen

Der Weg ist folgender:

  1. Dezimalzahl ganzzahlig durch 2 teilen und Ergebnis sowie Rest notieren
  2. Falls das Ergebnis nicht 0 ist, Schritt 1 wiederholen (Rest darf auch 1 sein!)
  3. Ziffern des Restes in der Reihenfolge vom letzten bis zum ersten Schritt notieren - dies ist die gesuchte Dualzahl.

Dies wird nun am Beispiel der Dezimalzahl %%13_{10}%% durchgeführt: $$ \begin{split} 13 : 2 = 6 \text{ R } 1 \\\ 6 : 2 = 3 \text{ R } 0 \\\ 3 : 2 = 1 \text{ R } 1 \\\ 1 : 2 = 0 \text{ R } 1 \\\ \end{split} $$

Als Ergebnis kann man nun von unten nach oben ablesen: %%13_{10} = 1101_{2}%%

Dezimalbrüche / Nachkommastellen

Bei Dezimalbrüchen wird der ganzzahlige Teil wie oben berechnet, nur für die Nachkommastellen ergeben sich leichte Abweichungen:

  1. Nachkommastellen des Dezimalbruchs (mit gedachter 0 vor dem Komma) mit 2 multiplizieren und Ergebnis notieren.
  2. Falls die Nachkommastellen des Ergebnisses nicht 0 sind, Schritt 1 wiederholen
  3. Ziffern der Vorkommastellen in der Reihenfolge vom ersten bis zum letzten Schritt notieren - dies ist die gesuchte Dualzahl nach dem Komma.

Dies wird nun am Beispiel der Dezimalzahl %%0,125_{10}%% gezeigt: $$ \begin{split} 0,125 * 2 = 0,250 \\\ 0,250 * 2 = 0,500 \\\ 0,500 * 2 = 1,000 \end{split} $$

Als Ergebnis kann man nun von oben nach unten ablesen: %%0,125_{10} = 0,001_{2}%%

Kombiniert man nun die beiden letzten Beispiele, so ergibt sich folgendes: %%13,125_{10} = 1101,001_{2}%%

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