08. Schaltgleichungen rechnerisch vereinfachen mittels Schaltalgebra

Zu Beginn …

Wir haben auf der letzten Seite festgestellt, dass Schaltgleichungen recht lang sein können - und dass es für eine lange Gleichung möglicherweise eine kürzere Variante gibt, welche genau dasselbe Ergebnis liefert.

Doch wie können wir Schaltgleichungen sicher vereinfachen?

Regeln der Schaltalgebra

Die Schaltalgebra gibt uns Möglichkeiten an die Hand, wie wir mit Schaltgleichungen rechnen, sie umformen und vereinfachen können.

Ein schönes Beispiel für die Vereinfachung ist hier die Gleichung %%y = a \wedge ( b \vee \overline b)%%:

Diese besagt, dass der Ausgangswert auf jeden Fall von %%a%% abhängt - und auch von %%b%% oder %%\overline b%%. Kurzum: Es ist eigentlich egal, welchen Wert %%b%% hat. Also kann man die Angabe auch gleich weglassen und stattdessen schreiben: %%y = a%%.

Eine ganze Liste derartiger Regeln findet sich in folgender Tabelle. Schau sie dir einfach mal in Ruhe durch und versuche, sie grob nachzuvollziehen!

Nr.

Regel

Kommentar

1

%%0 \wedge a = 0%%

Konjunktion mit Variable

2

%%1 \wedge a = a%%

%%\quad \qquad%% ''

3

%%a \wedge a = a%%

%%\quad \qquad%% ''

4

%%a \wedge \overline a = 0%%

%%\quad \qquad%% ''

5

%%0 \vee a = a%%

Disjunktion mit Variable

6

%%1 \vee a = 1%%

%%\quad \qquad%% ''

7

%%a \vee a = a%%

%%\quad \qquad%% ''

8

%%a \vee \overline a = 1%%

%%\quad \qquad%% ''

9

%%\overline {\overline 0} = 0%%

Doppelte Negation

10

%%\overline {\overline 1} = 1%%

%%\quad \qquad%% ''

11

%%\overline {\overline a} = a%%

%%\quad \qquad%% ''

12

%%a \wedge b = b \wedge a%%

Kommutativgesetze (Vertauschung)

13

%%a \vee b = b \vee a%%

%%\quad \qquad%% ''

14

%%a \wedge b \wedge c = a \wedge (b \wedge c)%%

Assoziativgesetze (Zusammenfassung)

15

%%a \vee b \vee c = a \vee (b \vee c)%%

%%\quad \qquad%% ''

16

%%a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c)%%

Distributivgesetze

17

%%a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge (a \vee c)%%

%%\quad \qquad%% ''

18

%%\overline {a \wedge b} = \overline a \vee \overline b%%

Gesetze von de Morgan

19

%%\overline {a \vee b} = \overline a \wedge \overline b%%

%%\quad \qquad%% ''

20

%%a \vee (a \wedge b) = a%%

Kürzungsregeln

21

%%a \wedge (a \vee b) = a%%

%%\quad \qquad%% ''

22

%%a \vee (\overline a \wedge b) = a \vee b%%

%%\quad \qquad%% ''

23

%%a \wedge (\overline a \vee b) = a \wedge b%%

%%\quad \qquad%% ''

24

%%(a \wedge b) \vee (a \wedge \overline b) = a%%

%%\quad \qquad%% ''

25

%%(a \vee b) \wedge (a \vee \overline b) = a%%

%%\quad \qquad%% ''

Beispiel zur Anwendung der Rechenregeln

Nehmen wir an dieser Stelle noch einmal das obige Einführungsbeispiel, um den Umgang mit den Rechenregeln zu verdeutlichen:

Ausgangsgleichung: %%\quad y = a \wedge ( b \vee \overline b)%%

Vorgehensweise:

  • Für den Ausdruck in der Klammer gilt laut Regel 8: %%\quad b \vee \overline b = 1%%
  • Führen wir nun die UND-Verknüpfung von %%a%% mit dem Ergebnis des Klammerausdrucks durch, so erhalten wir nach Regel 2: %%\quad a \wedge 1 = a%%
  • Somit erhalten wir als vereinfachte Gleichung: %%\quad y = a%%

Hinweis:

Dies ist im Übrigen nicht der einzige Weg. Mit der Anwendung der Regeln 16 und 24 würde man beispielsweise auch auf dieses Ergebnis kommen! Probier' es einfach mal aus!

Bei der Arbeit mit den Regeln der Schaltalgebra heißt es also: Regeln verinnerlichen und ganz genau hinschauen ;)

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