Aufgaben zur Kugel - lernen mit Serlo!

Durch Rotation des dargestellten rot umrandeten Flächenstücks um die Achse $g$ entsteht ein rotationssymmetrischer Körper. Bestimme jeweils das Volumen und den Oberflächeninhalt dieses Rotationskörpers in den Einheiten $a^{3}$ bzw. $a^{2}$ .

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$\displaystyle V_{rot}$	$=$	$\displaystyle V_{außen}-V_{innen}$
	↓	Subtrahiere das innere Volumen vom äußeren.
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}\cdot(3a)^3\cdot\mathrm{\pi}-\frac{2}{3}\cdot(2\mathrm{a})^3\cdot\mathrm{\pi}$
	↓	Löse auf.
	$=$	$\displaystyle 2\mathrm{\pi}\cdot27\mathrm{a}^3-\frac{2}{3}\mathrm{\pi}\cdot8\mathrm{a}^3$
	↓	Vereinfache so weit wie möglich
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}\mathrm{\pi}\cdot19\mathrm{a}^3$
	$=$	$\displaystyle \frac{38}{3}\mathrm{\pi a}^3$

$\displaystyle V_{rot}$	$=$	$\displaystyle V_{außen}-V_{innen}$
	↓	Subtrahiere das innere Volumen vom äußerem
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}(3a)^2\mathrm{\pi}(4\mathrm{a})-\frac{2}{3}\cdot(2\mathrm{a})^3\mathrm{\pi}$
	↓	Löse die Klammer auf
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot9a^2\mathrm{\pi}\cdot4\mathrm{a}-\frac{2}{3}\cdot8\mathrm{a}^3\mathrm{\pi}$
	↓	Multipliziere die Faktoren
	$=$	$\displaystyle 3\mathrm{a}^2\mathrm{\pi}\cdot4\mathrm{a}-\frac{2}{3}\cdot8\mathrm{a}^3\mathrm{\pi}$
	↓	Klammere a und $\mathrm\pi$ aus
	$=$	$\displaystyle (3\cdot4-\frac{2}{3}\cdot8)\cdot\mathrm{\pi a}^2\mathrm{a}$
	↓	Löse auf
	$=$	$\displaystyle (12-\frac{16}{3})\cdot\mathrm{\pi a}^2\mathrm{a}$
	$=$	$\displaystyle \frac{20}{3}\mathrm{\pi a}^3$

Lösung zur ersten Figur

Lösung zur zweiten Figur