Aufgaben zur Kugel - lernen mit Serlo!

Durch Rotation des dargestellten rot umrandeten Flächenstücks um die Achse $g$ entsteht ein rotationssymmetrischer Körper. Bestimme jeweils das Volumen und den Oberflächeninhalt dieses Rotationskörpers in den Einheiten $a^{3}$ bzw. $a^{2}$ .

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$V_{r o t}$	$=$	$V_{a u ß e n} - V_{i n n e n}$
	↓	Subtrahiere das innere Volumen vom äußeren.
	$=$	$\frac{2}{3} \cdot (3 a)^{3} \cdot π - \frac{2}{3} \cdot (2 a)^{3} \cdot π$
	↓	Löse auf.
	$=$	$2 π \cdot 27 a^{3} - \frac{2}{3} π \cdot 8 a^{3}$
	↓	Vereinfache so weit wie möglich
	$=$	$\frac{2}{3} π \cdot 19 a^{3}$
	$=$	$\frac{38}{3} {πa}^{3}$

$V_{r o t}$	$=$	$V_{a u ß e n} - V_{i n n e n}$
	↓	Subtrahiere das innere Volumen vom äußerem
	$=$	$\frac{1}{3} (3 a)^{2} π (4 a) - \frac{2}{3} \cdot (2 a)^{3} π$
	↓	Löse die Klammer auf
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot 9 a^{2} π \cdot 4 a - \frac{2}{3} \cdot 8 a^{3} π$
	↓	Multipliziere die Faktoren
	$=$	$3 a^{2} π \cdot 4 a - \frac{2}{3} \cdot 8 a^{3} π$
	↓	Klammere a und $π$ aus
	$=$	$(3 \cdot 4 - \frac{2}{3} \cdot 8) \cdot {πa}^{2} a$
	↓	Löse auf
	$=$	$(12 - \frac{16}{3}) \cdot {πa}^{2} a$
	$=$	$\frac{20}{3} {πa}^{3}$

Lösung zur ersten Figur

Lösung zur zweiten Figur