Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

Gegeben sind die beiden Kugeln $k_1$ mit Mittelpunkt $M_1(1|2|3)$ und Radius 5 sowie $k_2$ mit Mittelpunkt $M_2(-3|-2|1)$ und Radius 5.

(2 BE)

Zeigen Sie, dass sich $k_1$ und $k_2$ schneiden.

(3 BE)

Die Schnittfigur von $k_1$ und $k_2$ ist ein Kreis. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius dieses Kreises.

Die Aufgabe verlangt Verständnis für den Umgang mit Kugelgleichungen.

(2 BE)

Kugel $k_1$ : Mittelpunkt $M_1(1|2|3)$ und Radius $5$ .

Kugel $k_2$ : Mittelpunkt $M_2(-3|-2|1)$ und Radius $5$ .

Die beiden Kugeln schneiden sich, wenn der Abstand der Mittelpunkte kleiner ist als die Summe der beiden Radien.

Beachte: Beide Kugeln haben gleichen Radius. Also kann nicht eine Kugel im Inneren der anderen liegen.

Dies musst du zeigen: $\overline{M_1M_2}<2r$

$\displaystyle \overline{M_1M_2}$	$=$	$\displaystyle \left\|\begin{pmatrix}-3\\-2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|\begin{pmatrix}-4\\-4\\-2\end{pmatrix}\right\|$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{16+16+4}$
	$=$	$\displaystyle 6\;<\;10$

Die beiden Kugeln $k_1$ und $k_2$ schneiden sich.

(3 BE)

Da beide Kugeln gleichen Radius haben, ist der Mittelpunkt $M$ des Schnittkreises der Mittelpunkt der Strecke $[M_1M_2]$ .

Somit erhältst du:

$\displaystyle \overrightarrow{OM}$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac12 \cdot (\overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{OM_2})$
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac12 \cdot \left[\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\\-2\\1\end{pmatrix}\right]$

Also:

$\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}$

Ergebnis:

$M(-1|0|2)$ ist der Mittelpunkt des Schnittkreises.

Ein Querschnitt des Schnitts der beiden Kugeln ergibt folgende Zeichnung:

$R$ ist Kathetenlänge im rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenusenlänge $5$ und der zweiten Kathetenlänge $3$ .

Ergebnis:

Der Radius des Schnittkreises ist $4$ .

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