Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben sind die beiden Kugeln $k_{1}$ mit Mittelpunkt $M_{1} (1 | 2 | 3)$ und Radius 5 sowie $k_{2}$ mit Mittelpunkt $M_{2} (- 3 | - 2 | 1)$ und Radius 5.
a)
(2 BE)
Zeigen Sie, dass sich $k_{1}$ und $k_{2}$ schneiden.
b)
(3 BE)
Die Schnittfigur von $k_{1}$ und $k_{2}$ ist ein Kreis. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius dieses Kreises.

Die Aufgabe verlangt Verständnis für den Umgang mit Kugelgleichungen.
Lösung Teilaufgabe a)
(2 BE)
Kugel $k_{1}$ : Mittelpunkt $M_{1} (1 | 2 | 3)$ und Radius $5$ .
Kugel $k_{2}$ : Mittelpunkt $M_{2} (- 3 | - 2 | 1)$ und Radius $5$ .
Die beiden Kugeln schneiden sich, wenn der Abstand der Mittelpunkte kleiner ist als die Summe der beiden Radien.
Beachte: Beide Kugeln haben gleichen Radius. Also kann nicht eine Kugel im Inneren der anderen liegen.
Dies musst du zeigen: $M_{1} M_{2} < 2 r$
$M_{1} M_{2}$ $=$ $| (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) |$
$=$ $| (\begin{array}{c} - 4 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}) |$
$=$ $\sqrt{16 + 16 + 4}$
$=$ $6 < 10$
Die beiden Kugeln $k_{1}$ und $k_{2}$ schneiden sich.
Lösung Teilaufgabe b)
(3 BE)
Berechnung des Mittelpunktes des Schnittkreises
Da beide Kugeln gleichen Radius haben, ist der Mittelpunkt $M$ des Schnittkreises der Mittelpunkt der Strecke $[M_{1} M_{2}]$ .
Somit erhältst du:
$\vec{O M}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot (\vec{O M_{1}} + \vec{O M_{2}})$
$=$ $\frac{1}{2} \cdot [(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \\ 1 \end{array})]$
Also:
$\vec{O M} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})$
Ergebnis:
$M (- 1 | 0 | 2)$ ist der Mittelpunkt des Schnittkreises.
Ein Querschnitt des Schnitts der beiden Kugeln ergibt folgende Zeichnung:
So berechnest du den Radius $R$ des Schnittkreises:
$R$ ist Kathetenlänge im rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenusenlänge $5$ und der zweiten Kathetenlänge $3$ .
Der Satz des Pythagoras ergibt:
$5^{2}$ $=$ $R^{2} + 3^{2}$ $- 3^{2}$
$R^{2}$ $=$ $5^{2} - 3^{2}$
$R^{2}$ $=$ $16$ $\sqrt{}$
$R$ $=$ $4$
Ergebnis:
Der Radius des Schnittkreises ist $4$ .
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
a)
(2 BE)
Die Ebene $E : 3 x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = 6$ enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimmen Sie diese Koordinaten.
b)
(3 BE)
Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:
Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.

Die Aufgabe verlangt Verständnis für den Umgang mit der Normalenform von Ebenengleichungen und Kenntnisse über Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen im $ℝ^{𝟛}$ .
Lösung Teilaufgabe a)
(2 BE)
Setze den Punkt $P (p | p | p)$ in die Ebenengleichung $3 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 2 \cdot x_{3} = 6$ ein und löse die Gleichung nach $p$ auf.
$\begin{array}{rcll} 3 \cdot p + 2 \cdot p + 2 \cdot p & = & 6 \\ 7 \cdot p & = & 6 \\ p & = & \frac{6}{7} \end{array}$
Ergebnis:
Der Punkt $P (\frac{6}{7} | \frac{6}{7} | \frac{6}{7})$ liegt auf der Ebene $E$ .
Lösung der Teilaufgabe b)
(3 BE)
So begründest du - ohne besonderen rechnerischen Nachweis - die Behauptung:
Alle Punkte des Raums mit drei gleichen Koordinaten liegen auf der derselben Geraden
$g : \vec{x} = λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}); λ \in ℝ$
.
Jede der unendlich vielen Ebenen, zu denen $g$ (echt) parallel ist, erfüllt die Behauptung, enthält also keinen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.
Alternative Begründung
Keine der unendlich vielen Ebenen
$E : n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + n_{3} x_{3} = c$
mit $c \neq 0$ und
$n_{1} + n_{2} + n_{3} = 0$
enthält einen Punkt mit drei gleichen Koordinaten.
Denn kein Punkt $P (p | p | p)$ erfüllt die Ebenengleichung:
$\begin{array}{rcll} n_{1} \cdot p + n_{2} \cdot p + n_{3} \cdot p & = & c \\ p \cdot \underset{0}{\underset{⏟}{(n_{1} + n_{2} + n_{3})}} & = & c \\ 0 & = & c \end{array}$
Es soll aber $c \neq 0$ sein!
Anmerkung
Die beiden dargestellten Möglichkeiten zur Begründung der Behauptung der Aufgabe hängen zusammen:
Die Gerade
$g : \vec{x} = λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})$
ist genau dann zu einer Ebene
$E : n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + n_{3} x_{3} = c$
echt parallel, wenn $c \neq 0$ und der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene ist.
Wenn also gilt:
$(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{array}) = 0 \Rightarrow n_{1} + n_{2} + n_{3} = 0$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$M_{1} M_{2}$	$=$	$\| (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) \|$
	$=$	$\| (\begin{array}{c} - 4 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}) \|$
	$=$	$\sqrt{16 + 16 + 4}$
	$=$	$6 < 10$

$\vec{O M}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot (\vec{O M_{1}} + \vec{O M_{2}})$
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot [(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \\ 1 \end{array})]$

$5^{2}$	$=$	$R^{2} + 3^{2}$	$- 3^{2}$
$R^{2}$	$=$	$5^{2} - 3^{2}$
$R^{2}$	$=$	$16$	$\sqrt{}$
$R$	$=$	$4$

Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

a)

b)

Lösung Teilaufgabe a)

Lösung Teilaufgabe b)

Berechnung des Mittelpunktes des Schnittkreises

So berechnest du den Radius R des Schnittkreises:

a)

b)

Lösung Teilaufgabe a)

Lösung der Teilaufgabe b)

Anmerkung

So berechnest du den Radius $R$ des Schnittkreises: