Das Volumen der Pyramide

$V_P=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h_p$

Die Grundfläche besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge $r$.

Die Höhe in diesen gleichseitigen Dreiecken ist gleich dem angegebenen Innenkreisradius

$h_{\Delta}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot r\;\Rightarrow\;A_{\Delta}=\dfrac{1}{2}\cdot r\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot r=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot r^2$

$\Rightarrow\;G=6\cdot A_{\Delta}=6\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot r^2$

Die Höhe der Pyramide $h_P$ kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.

Im Dreieck $AGS$ gilt: $h_P^2+r^2=(2{,}6r)^2\;\Rightarrow\;h_P^2=2{,}6^2r^2-r^2=5{,}76r^2$

$\Rightarrow\;$$h_P=2{,}4r$

Für das das Volumen der Pyramide folgt dann:

$V_P=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h_p=\dfrac{1}{3}\cdot6\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot r^2\cdot2{,}4r=1{,}2\sqrt{3}r^3$

Das Pyramidenvolumen beträgt:

Neigungswinkel der Seitenkante zur Grundfläche

Gesucht ist der Winkel $GAS$.

Im Dreieck $GAS$ gilt:

$\cos\varphi=\dfrac{\overline{AG}}{\overline{AS}}=\dfrac{r}{2{,}6r}=\dfrac{1}{2{,}6}\;\Rightarrow\;\varphi=\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{2{,}6}\right)=67{,}38^\circ$

Neigungswinkel der Seitenfläche zur Grundfläche.

Gesucht ist der Winkel $GLS$.

Im Dreieck $GLS$ gilt:

$\tan\alpha=\dfrac{h_P}{\overline{GL}}=\dfrac{2{,}4r}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot r}=\dfrac{4{,}8}{\sqrt{3}}\;\Rightarrow\;\alpha=\tan^{-1}\left(\dfrac{4{,}8}{\sqrt{3}}\right)=70{,}16^\circ$