Schwierigere Aufgaben zu einzelnen Grundkörpern

Du suchst die Herausforderung? Hier findest du sie mit schwierigeren Aufgaben zu verschiedenen Grundkörpern.

1
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Eine Pyramide habe als Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck mit Umkreisradius $r$ (⁣ $\Rightarrow$ Grundkantenlänge auch $r$ und der Inkreisradius ist $\frac{\sqrt{3}}{2} r$ ⁣).
Der Höhenfußpunkt der Pyramide ist der Umkreismittelpunkt, die Seitenkantenlänge ist $2,6 r$ .
Berechne das Volumen der Pyramide.
Berechne den Neigungswinkel der Seitenkante zur Grundfläche und den Neigungswinkel der Seitenfläche zur Grundfläche.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Das Volumen der Pyramide
$V_{P} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h_{p}$
Die Grundfläche besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge $r$ .
Die Höhe in diesen gleichseitigen Dreiecken ist gleich dem angegebenen Innenkreisradius
$h_{Δ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot r \Rightarrow A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot r = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot r^{2}$
$\Rightarrow G = 6 \cdot A_{Δ} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot r^{2}$
Die Höhe der Pyramide $h_{P}$ kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.
Im Dreieck $A G S$ gilt: $h_{P}^{2} + r^{2} = (2,6 r)^{2} \Rightarrow h_{P}^{2} = {2,6}^{2} r^{2} - r^{2} = 5,76 r^{2}$
$\Rightarrow$ $h_{P} = 2,4 r$
Für das das Volumen der Pyramide folgt dann:
$V_{P} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h_{p} = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot r^{2} \cdot 2,4 r = 1,2 \sqrt{3} r^{3}$
Das Pyramidenvolumen beträgt:
$V_{P} = 1,2 \sqrt{3} r^{3}$
Neigungswinkel der Seitenkante zur Grundfläche
Gesucht ist der Winkel $G A S$ .
Im Dreieck $G A S$ gilt:
$\cos φ = \frac{A G}{A S} = \frac{r}{2,6 r} = \frac{1}{2,6} \Rightarrow φ = \cos^{- 1} (\frac{1}{2,6}) = {67,38}^{\circ}$
Neigungswinkel der Seitenfläche zur Grundfläche.
Gesucht ist der Winkel $G L S$ .
Im Dreieck $G L S$ gilt:
$\tan α = \frac{h_{P}}{G L} = \frac{2,4 r}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot r} = \frac{4,8}{\sqrt{3}} \Rightarrow α = \tan^{- 1} (\frac{4,8}{\sqrt{3}}) = {70,16}^{\circ}$
2
raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Eine gerade Pyramide hat als Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck mit der Kantenlänge a. Die Höhe der Pyramide beträgt 2a. Berechne die Seitenkantenlängen in Vielfachen von a. Berechne den Oberflächeninhalt der Pyramide in Vielfachen von a.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tetraeder
Die Seitenkantenlänge $k$
Im gleichseitigen Dreieck gilt mit Pythagoras:
$h_{a} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{3 \cdot a^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} a$
$A_{Δ_{G}} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^{2}$
Betrachte das Dreieck $A D S$ .
Die Seite $A D$ ist die Höhe des gleichseitigen Dreiecks $A B C$ .
Die Seitenhalbierenden (Höhen) schneiden sich im Verhältnis $2 : 1$ .
Für die Strecke $p$ gilt dann:
$p = \frac{2}{3} \cdot A D = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{3} a$
Für $q$ gilt: $q = \frac{1}{3} \cdot A D = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{6} a$
Im rechtwinkligen Dreieck $A H S$ ist
$h_{P} = 2 a$ . Dann gilt wieder mit Pythagoras:
$k^{2} = p^{2} + h_{P}^{2} = {(\frac{\sqrt{3}}{3} a)}^{2} + (2 a)^{2}$
$k^{2} = \frac{1}{3} a^{2} + 4 a^{2} = \frac{13}{3} a^{2}$
$\Rightarrow k = \sqrt{\frac{13}{3}} a = \frac{\sqrt{39}}{3} a$
Die Seitenkantenlänge $k$ ist:
$k = \frac{\sqrt{39}}{3} a$
Im rechtwinkligen Dreieck $H D S$ gilt:
$h_{Δ}^{2} = h_{P}^{2} + q^{2} = (2 a)^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{6} a)}^{2} = 4 a^{2} + \frac{1}{12} a^{2} = \frac{49}{12} a^{2}$
$\Rightarrow h_{Δ} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{12}} a = \frac{7}{2 \sqrt{3}} a = \frac{7 \cdot \sqrt{3}}{6} a$
Der Oberflächeninhalt der Pyramide:
$O_{P} = A_{Δ_{G}} + 3 \cdot A_{Seitenfläche}$
$O_{P} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^{2} + 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{7 \cdot \sqrt{3}}{6} a = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^{2} + \frac{7 \cdot \sqrt{3}}{4} a^{2} = \frac{8 \cdot \sqrt{3}}{4} a^{2} = 2 \sqrt{3} a^{2}$
Der Oberflächeninhalt der Pyramide ist gleich:
$O_{P} = 2 \sqrt{3} a^{2}$
3
raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Eine gerade Pyramide hat als Grundfläche ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b = 2 a$ . Die Höhe der Pyramide beträgt $h = 1,5 a$ .
Berechne die Kantenlängen als Vielfache von $a$ .
Berechne den Oberflächeninhalt der Pyramide in Vielfachen von $a^{2}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Berechnung der Länge der Diagonalen $d$
Bestimme die Länge der Diagonalen $d$ des Rechtecks mit dem Satz des Pythagoras.
$d^{2}$ $=$ $a^{2} + {(2 a)}^{2}$
$d^{2}$ $=$ $5 a^{2}$ $\sqrt{}$
↓
Ziehe die Wurzel.
$d$ $=$ $\pm \sqrt{5} a$
Das negative Ergebnis kannst du vernachlässigen, da Längen nur positiv sein können $\Rightarrow d = \sqrt{5} a$
Berechnung der Kantenlänge $k$
Berechne die Länge der Kante $k$ mit dem Satz des Pythagoras.
$k^{2}$ $=$ $h^{2} + {(\frac{d}{2})}^{2}$
↓
Setze $d = \sqrt{5} a$ und $h = 1,5 a$ ein.
$k^{2}$ $=$ ${(\frac{3}{2} a)}^{2} + {(\frac{\sqrt{5}}{2} a)}^{2}$
↓
Vereinfache.
$k^{2}$ $=$ $\frac{14}{4} a^{2}$ $\sqrt{}$
$k$ $=$ $\pm \frac{\sqrt{14}}{2} a$
Das negative Ergebnis kannst du wieder vernachlässigen, da Längen nur positiv sein können $\Rightarrow k = \frac{\sqrt{14}}{2} a$
Bestimmung des Oberflächeninhalts der Pyramide
Die Oberfläche der Pyramide $O_{Pyramide}$ besteht aus der Fläche der Grundfläche $G$ und der Mantelfläche $M$ . Die Grundfläche $G$ ist ein Rechteck. Die Mantelfläche $M$ besteht aus 4 Dreiecksflächen, von denen je 2 der Dreicksflächen (und zwar die Gegenüberliegenden) gleich groß sind. Hier sind die Dreicksflächen als $m_{1}$ und $m_{2}$ bezeichnet.
$\begin{array}{rcllc} O_{Pyramide} & = & G & + & M \\ = & G & + & 2 \cdot m_{1} + 2 \cdot m_{2} \end{array}$
Bestimme erstmal die Grundfläche $G$ .
$\begin{array}{l} G = b \cdot a \\ = 2 a \cdot a \\ = 2 a^{2} \end{array}$
Um die Mantelfläche zu bestimmen benötigst du die Höhen der Dreiecksflächen. Sie heißen hier $h_{1}$ und $h_{2}$ . Bestimme $h_{1}$ und $h_{2}$ mit dem Satz des Pythagoras.
$h_{1}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}$ $=$ $k^{2}$ $- {(\frac{a}{2})}^{2}$
$h_{1}^{2}$ $=$ $k^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}$
$h_{1}^{2}$ $=$ $\frac{14}{4} a^{2} - \frac{1}{4} a^{2}$
$h_{1}^{2}$ $=$ $\frac{13}{4} a^{2}$ $\sqrt{}$
$h_{1}$ $=$ $\pm \frac{\sqrt{13}}{2} a$
Da Längen nur positiv sein können, kannst du das negative Ergebnis vernachlässigen $\Rightarrow h_{1} = \frac{\sqrt{13}}{2} a$
$h_{2}^{2} + a^{2}$ $=$ $k^{2}$ $- a^{2}$
$h_{2}^{2}$ $=$ $k^{2} - a^{2}$
$h_{2}^{2}$ $=$ $\frac{14}{4} a^{2} - a^{2}$
$h_{2}^{2}$ $=$ $\frac{10}{4} a^{2}$ $\sqrt{}$
$h_{2}$ $=$ $\pm \frac{\sqrt{10}}{2} a$
Da Längen nur positiv sein können, kannst du das negative Ergebnis vernachlässigen $\Rightarrow h_{2} = \frac{\sqrt{10}}{2} a$
Jetzt kannst du die Dreiecksflächen berechnen.
$\begin{array}{l} m_{1} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{1} \\ = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{13}}{2} a \\ = \frac{\sqrt{13}}{4} a^{2} \end{array}$
$\begin{array}{l} m_{2} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{2} \\ = \frac{1}{2} \cdot 2 a \cdot \frac{\sqrt{10}}{2} a \\ = \frac{\sqrt{10}}{2} a^{2} \end{array}$
Jetzt lässt sich die Oberfläche bestimmen.
$\begin{array}{rcl} O_{Pyramide} & = & G + 2 \cdot m_{1} + 2 \cdot m_{2} \\ = & 2 a^{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{13}}{4} a^{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{10}}{2} a^{2} \\ = & (2 + \frac{\sqrt{13}}{2} + \sqrt{10}) a^{2} \\ \approx & 6,97 a^{2} \end{array}$
Der Oberflächeninhalt der Pyramide beträgt in etwa $6,97 a^{2}$ .
4
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Das nebenstehende Netz mit lauter gleichseitigen Dreiecken mit Seitenlänge k lässt sich zu einem Oktaeder falten, indem man zunächst aus der "linken" Hälfte des Netzes eine Pyramide herstellt.
Berechne die Höhe dieser Pyramide und zeichne ein Schrägbild des Oktaeders.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Aus dem halben Netz wird eine Pyramide hergestellt.
Die Diagonale $d$ der Grundfläche dieser Pyramide wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet:
$d = \sqrt{2 k^{2}} = \sqrt{2} k$
Gesucht ist die Höhe $h_{P}$ der Pyramide.
Im Dreieck $E B S$ gilt mit Pythagoras:
$h_{P} = \sqrt{k^{2} - {(\frac{d}{2})}^{2}}$
$h_{P} = \sqrt{k^{2} - {(\frac{\sqrt{2}}{2} k)}^{2}} = \sqrt{\frac{1}{2} k^{2}}$
$h_{P} = \frac{\sqrt{2}}{2} k \approx 0,71 k$
Schrägbild des Oktaeders
Für die Zeichnung gilt: $q = 0,5$ und $α = 45^{\circ} .$
Konstruiere ein Parallelogramm $A B C D$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $E$ .
Im Punkt $B$ wird die Seite $B C = \frac{1}{2} A B$ unter dem Winkel $45^{\circ}$ abgetragen.
Im Diagonalenschnittpunkt $E$ wird die Höhe $h_{P} = E S = 0,71 A B$ eingezeichnet.
Die Höhe der zweiten Pyramide $h_{P}^{'} = E S^{'} = 0,71 A B$ wird ebenfalls im Punkt E eingezeichnet. Zeichne dann die Strecken von $S$ zu $A, B, C$ und $D$ und von $S^{'}$ zu $A, B, C$ und $D$ .
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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Das Bild zeigt eine gerade Pyramide mit einem Quadrat als Grundfläche. Der Punkt $C$ halbiert die Höhe $h$ .
Die Winkel im Dreieck $A B C$ hängen nicht von $a$ ab.
Berechne jeweils in Abhängigkeit von $a$
1. Das Volumen der Pyramide
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Die Diagonalenlänge der Grundfläche ist $d = \sqrt{2} a$ .
  Der Mittelpunkt der Diagonalen ist $M$ .
  Dann gilt im Dreieck $A M S$ mit dem Satz des Pythagoras:
  $h^{2} = (3 a)^{2} - {(\frac{d}{2})}^{2}$
  $h^{2} = 9 a^{2} - {(\frac{\sqrt{2} a}{2})}^{2}$
  $\Rightarrow h = \sqrt{9 a^{2} - \frac{1}{2} a^{2}} = \frac{\sqrt{34}}{2} a$
  Damit kann nun das Volumen der Pyramide berechnet werden:
  $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
  $V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot \frac{\sqrt{34}}{2} a = \frac{\sqrt{34}}{6} a^{3} \approx 0,972 a^{3}$
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2. Den Oberflächeninhalt der Pyramide
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Für den Oberflächeninhalt muss die Fläche der Pyramidendreiecke berechnet werden.
  Im gezeichneten Dreieck ist die Dreiecksgrundseite die halbe Dreiecksseite $a$ .
  Im Dreieck gilt dann mit dem Satz des Pythagoras:
  $h_{Δ} = \sqrt{(3 a)^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \sqrt{9 a^{2} - \frac{a^{2}}{4}}$
  $h_{Δ} = \frac{\sqrt{35}}{2} a$
  Für den Oberflächeninhalt folgt dann:
  $O = G + 4 \cdot A_{Δ} = G + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{Δ}$
  $O = a^{2} + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{35}}{2} \cdot a$
  $O = a^{2} + \sqrt{35} \cdot a^{2} = (1 + \sqrt{35}) \cdot a^{2}$
  $O \approx 6,916 a^{2}$
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3. Die drei Seitenlängen im Dreieck $A B C$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
  Die Länge der Dreiecksseite $[A B]$ ist die Diagonalenlänge $d = \sqrt{2} a$ .
  Die Höhe $h$ in diesem Dreieck ist die halbe Pyramidenhöhe.
  $\Rightarrow h = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{34}}{2} a = \frac{\sqrt{34}}{4} a$
  Die Längen der beiden Seiten $[A C]$ und $[B C]$ sind gleich groß. Die Länge wird wieder mit dem Satz des Pythagoras berechnet:
  $A C = B C = \sqrt{h^{2} + {(\frac{d}{2})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{\sqrt{34}}{4} a)}^{2} + {(\frac{\sqrt{2} a}{2})}^{2}}$
  $A C = B C = \sqrt{\frac{34}{16} a^{2} + \frac{1}{2} a^{2}} = \frac{\sqrt{42}}{4} a$
  Ergebnis: $A C = B C = \frac{\sqrt{42}}{4} a$ und $A B = \sqrt{2} a$ .
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4. Die Winkel im Dreieck $A B C$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Funktionen
  Im linken Dreieck gilt:
  $\tan α = \frac{h}{\frac{d}{2}} = \frac{2 \cdot h}{d}$
  $\tan α = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{34}}{4} a}{\sqrt{2} a}$
  $\tan α = \frac{\sqrt{34}}{2 \cdot \sqrt{2}}$
  $\Rightarrow α = \tan^{- 1} (\frac{\sqrt{34}}{2 \cdot \sqrt{2}}) \approx {64,12}^{\circ}$
  Der Winkel $A B C$ ist gleich dem Winkel $α$ .
  Der Winkel $A C B = 180^{\circ} - 2 \cdot α = 180^{\circ} - {128,24}^{\circ} = {51,56}^{\circ}$ .
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5. Den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
  $A = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h$
  $A = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} a \cdot \frac{\sqrt{34}}{4} a = \frac{\sqrt{17}}{4} a^{2}$
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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Das Bild zeigt eine gerade Pyramide mit einem Quadrat der Kantenlänge $a$ als Grundfläche. Die Seitenkanten haben ebenfalls die Länge $a$ .
1. Zeichne ein Netz der Pyramide für $a = 4 cm$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Teilaufgabe a
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2. Berechne die Höhe $h$ der Pyramide in Vielfachen von $a$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Teilaufgabe b
  Satz des Pythagoras anwenden
  $h^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2} a)}^{2} = a^{2} \Rightarrow h = \frac{\sqrt{2}}{2} a$
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3. Berechne den Oberflächeninhalt $O$ der Pyramide
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Teilaufgabe c
  Die Höhe innerhalb der Dreiecks-Seitenfläche bestimmen. Satz des Pythagoras anwenden.
  ${(h_{△})}^{2} + {(\frac{1}{2} a)}^{2} = a^{2} \Rightarrow h_{△} = \frac{\sqrt{3}}{2} a$
  Flächeninhalt des Dreiecks bestimmen:
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{△} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$
  Oberflächeninhalt bestimmen:
  $O = 4 \cdot A_{△} + a^{2} = a^{2} + 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} = (1 + \sqrt{3}) \cdot a^{2}$
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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Das Bild zeigt eine gerade Pyramide mit einem Quadrat der Kantenlänge $a$ als Grundfläche. Die Höhe der Pyramide ist $2 a$ .
1. Berechne die Länge der Seitenkanten $k$ in Vielfachen von $a$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Teilaufgabe 1
  Diagonale $d$ des Quadrats mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
  $d$ $=$ $\sqrt{2 a^{2}}$
  $d$ $=$ $\sqrt{2} a$
  Seitenkante $k$ mit Pythagoras berechnen:
  ${(2 a)}^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2} a)}^{2}$ $=$ $k^{2}$
  $k$ $=$ $\frac{3 \sqrt{2}}{2} a$
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2. Berechne den Oberflächeninhalt $O$ der Pyramide in Vielfachen von $a^{2}$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Teilaufgabe 2
  Höhe $h_{△}$ im Dreieck mit Satz des Pythagoras berechnen:
  $k^{2}$ $=$ $h_{Δ}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}$ $- {(\frac{a}{2})}^{2}$
  $h_{Δ}$ $=$ $\sqrt{k^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}}$
  $h_{Δ}$ $=$ $\frac{\sqrt{17}}{2} a$
  Fläche des Dreiecks berechnen:
  $A_{Δ}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{Δ}$
  $=$ $\frac{\sqrt{17}}{4} a^{2}$
  Oberfläche der Pyramide berechnen:
  $O$ $=$ $a^{2} + 4 \cdot A_{Δ}$
  $=$ $a^{2} + \sqrt{17} a^{2}$
  $=$ $(1 + \sqrt{17}) a^{2}$
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3. Bestimme $a$ auf Millimeter genau, wenn der Oberflächeninhalt genau $400 {cm}^{2}$ betragen soll.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Teilaufgabe 3
  $S$ $=$ $400 {cm}^{2}$
  ↓
  Oberfläche gleichsetzen.
  $(1 + \sqrt{17}) a^{2}$ $=$ $400 {cm}^{2}$ $: (1 + \sqrt{17})$
  ↓
  Gleichung umformen.
  $a^{2}$ $=$ $\frac{400 {cm}^{2}}{(1 + \sqrt{17})}$
  ↓
  Gleichung umformen.
  $a$ $=$ $\frac{\sqrt{400 {cm}^{2}}}{\sqrt{1 + \sqrt{17}}}$
  $a$ $=$ $8,8 cm$
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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Ein Würfel und eine gerade Pyramide haben jeweils ein Quadrat der Kantenlänge $a$ als Grundfläche. Beide Körper sollen den gleichen Oberflächeninhalt haben.
1. Wie lang müssen dann die Seitenkanten der Pyramide sein?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundkörper
  Würfel und Pyramide
  Gleichsetzung des Oberflächeninhalts des Würfels und der Pyramide:
  $6 a^{2}$ $=$ $a^{2} + 4 \cdot A_{Δ}$ $- a^{2}$
  $5 a^{2}$ $=$ $4 \cdot A_{Δ}$
  ↓
  Formel für Flächeninhalt eines Dreiecks für $A_{△}$ einsetzen.
  $5 a^{2}$ $=$ $2 \cdot a \cdot h_{Δ}$ $: 2 a$
  $\frac{5}{2} a$ $=$ $h_{Δ}$
  Die Höhe des Dreiecks beträgt $h_{Δ} = \frac{5}{2} a$ .
  Um $k$ zu berechnen, wende den Satz des Pythagoras an:
  $k^{2}$ $=$ $h_{Δ}^{2} + {(\frac{1}{2} a)}^{2}$
  $k^{2}$ $=$ $\frac{25}{4} a^{2} + \frac{1}{4} a^{2}$
  $k^{2}$ $=$ $\frac{26}{4} a^{2}$ $\sqrt{}$
  $k$ $=$ $\frac{\sqrt{26}}{2} a$
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2. Berechne auch die Höhe der Pyramide.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundkörper
  Diagonale $d$ des Quadrats mit Satz des Pythagoras bestimmen:
  $d$ $=$ $\sqrt{2 a^{2}}$
  $d$ $=$ $\sqrt{2} a$
  Um $h$ zu berechnen, wende den Satz des Pythagoras an:
  $k^{2}$ $=$ $h^{2} + {(\frac{d}{2})}^{2}$ $- {(\frac{d}{2})}^{2}$
  $h^{2}$ $=$ $k^{2} - {(\frac{d}{2})}^{2}$
  $h^{2}$ $=$ $\frac{26}{4} a^{2} - {(\frac{\sqrt{2}}{2} a)}^{2}$
  $h^{2}$ $=$ $\frac{26}{4} a^{2} - \frac{2}{4} a^{2}$
  $h^{2}$ $=$ $\frac{24}{4} a^{2}$
  $h^{2}$ $=$ $6 a^{2}$ $\sqrt{}$
  $h$ $=$ $\sqrt{6} a$
  $h$ $\approx$ $2,45 a$
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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Das Bild zeigt eine gerade Pyramide mit einem Quadrat als Grundfläche. Der Punkt $C$ halbiert die Höhe $h$ .
Die Winkel im Dreieck $A B C$ hängen nicht von $a$ ab.
Berechne jeweils in Abhängigkeit von $a .$
1. Das Volumen der Pyramide
2. Den Oberflächeninhalt der Pyramide
3. Die drei Seitenlängen im Dreieck $A B C$
4. Die Winkel im Dreieck $A B C$
5. Den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$d^{2}$	$=$	$a^{2} + {(2 a)}^{2}$
$d^{2}$	$=$	$5 a^{2}$	$\sqrt{}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$d$	$=$	$\pm \sqrt{5} a$

$k^{2}$	$=$	$h^{2} + {(\frac{d}{2})}^{2}$
	↓	Setze $d = \sqrt{5} a$ und $h = 1,5 a$ ein.
$k^{2}$	$=$	${(\frac{3}{2} a)}^{2} + {(\frac{\sqrt{5}}{2} a)}^{2}$
	↓	Vereinfache.
$k^{2}$	$=$	$\frac{14}{4} a^{2}$	$\sqrt{}$
$k$	$=$	$\pm \frac{\sqrt{14}}{2} a$

$h_{1}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}$	$=$	$k^{2}$	$- {(\frac{a}{2})}^{2}$
$h_{1}^{2}$	$=$	$k^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}$
$h_{1}^{2}$	$=$	$\frac{14}{4} a^{2} - \frac{1}{4} a^{2}$
$h_{1}^{2}$	$=$	$\frac{13}{4} a^{2}$	$\sqrt{}$
$h_{1}$	$=$	$\pm \frac{\sqrt{13}}{2} a$

$h_{2}^{2} + a^{2}$	$=$	$k^{2}$	$- a^{2}$
$h_{2}^{2}$	$=$	$k^{2} - a^{2}$
$h_{2}^{2}$	$=$	$\frac{14}{4} a^{2} - a^{2}$
$h_{2}^{2}$	$=$	$\frac{10}{4} a^{2}$	$\sqrt{}$
$h_{2}$	$=$	$\pm \frac{\sqrt{10}}{2} a$

${(2 a)}^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2} a)}^{2}$	$=$	$k^{2}$
$k$	$=$	$\frac{3 \sqrt{2}}{2} a$

$k^{2}$	$=$	$h_{Δ}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}$	$- {(\frac{a}{2})}^{2}$
$h_{Δ}$	$=$	$\sqrt{k^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}}$
$h_{Δ}$	$=$	$\frac{\sqrt{17}}{2} a$

$A_{Δ}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{Δ}$
	$=$	$\frac{\sqrt{17}}{4} a^{2}$

$O$	$=$	$a^{2} + 4 \cdot A_{Δ}$
	$=$	$a^{2} + \sqrt{17} a^{2}$
	$=$	$(1 + \sqrt{17}) a^{2}$

$S$	$=$	$400 {cm}^{2}$
	↓	Oberfläche gleichsetzen.
$(1 + \sqrt{17}) a^{2}$	$=$	$400 {cm}^{2}$	$: (1 + \sqrt{17})$
	↓	Gleichung umformen.
$a^{2}$	$=$	$\frac{400 {cm}^{2}}{(1 + \sqrt{17})}$
	↓	Gleichung umformen.
$a$	$=$	$\frac{\sqrt{400 {cm}^{2}}}{\sqrt{1 + \sqrt{17}}}$
$a$	$=$	$8,8 cm$

$6 a^{2}$	$=$	$a^{2} + 4 \cdot A_{Δ}$	$- a^{2}$
$5 a^{2}$	$=$	$4 \cdot A_{Δ}$
	↓	Formel für Flächeninhalt eines Dreiecks für $A_{△}$ einsetzen.
$5 a^{2}$	$=$	$2 \cdot a \cdot h_{Δ}$	$: 2 a$
$\frac{5}{2} a$	$=$	$h_{Δ}$

$k^{2}$	$=$	$h_{Δ}^{2} + {(\frac{1}{2} a)}^{2}$
$k^{2}$	$=$	$\frac{25}{4} a^{2} + \frac{1}{4} a^{2}$
$k^{2}$	$=$	$\frac{26}{4} a^{2}$	$\sqrt{}$
$k$	$=$	$\frac{\sqrt{26}}{2} a$

$k^{2}$	$=$	$h^{2} + {(\frac{d}{2})}^{2}$	$- {(\frac{d}{2})}^{2}$
$h^{2}$	$=$	$k^{2} - {(\frac{d}{2})}^{2}$
$h^{2}$	$=$	$\frac{26}{4} a^{2} - {(\frac{\sqrt{2}}{2} a)}^{2}$
$h^{2}$	$=$	$\frac{26}{4} a^{2} - \frac{2}{4} a^{2}$
$h^{2}$	$=$	$\frac{24}{4} a^{2}$
$h^{2}$	$=$	$6 a^{2}$	$\sqrt{}$
$h$	$=$	$\sqrt{6} a$
$h$	$\approx$	$2,45 a$

Schwierigere Aufgaben zu einzelnen Grundkörpern

Das Volumen der Pyramide

Neigungswinkel der Seitenkante zur Grundfläche

Neigungswinkel der Seitenfläche zur Grundfläche.

Die Seitenkantenlänge k

Der Oberflächeninhalt der Pyramide:

Berechnung der Länge der Diagonalen d

Berechnung der Kantenlänge k

Bestimmung des Oberflächeninhalts der Pyramide

Schrägbild des Oktaeders

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Teilaufgabe a

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Teilaufgabe b

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Teilaufgabe c

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Teilaufgabe 1

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Teilaufgabe 2

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Teilaufgabe 3

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Würfel und Pyramide

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Die Seitenkantenlänge $k$

Berechnung der Länge der Diagonalen $d$

Berechnung der Kantenlänge $k$