Aufgaben zu Volumen und Oberflächenberechnung

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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch

Ein Würfel und eine gerade Pyramide haben jeweils ein Quadrat der Kantenlänge $a$ als Grundfläche. Beide Körper sollen den gleichen Oberflächeninhalt haben.

Wie lang müssen dann die Seitenkanten der Pyramide sein?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundkörper

Würfel und Pyramide

Gleichsetzung des Oberflächeninhalts des Würfels und der Pyramide:

$\displaystyle 6a^2$	$=$	$\displaystyle a^2+4\cdot A_{\Delta}$	$\displaystyle -a^2$
$\displaystyle 5a^2$	$=$	$\displaystyle 4\cdot A_{\Delta}$
	↓	Formel für Flächeninhalt eines Dreiecks für $A_\bigtriangleup$ einsetzen.
$\displaystyle 5a^2$	$=$	$\displaystyle 2\cdot a\cdot h_{\Delta}$	$\displaystyle :2a$
$\displaystyle \dfrac{5}{2}a$	$=$	$\displaystyle h_{\Delta}$

Die Höhe des Dreiecks beträgt $h_{\Delta}=\dfrac{5}{2}a$ .

Um $k$ zu berechnen, wende den Satz des Pythagoras an:

$\displaystyle k^2$	$=$	$\displaystyle h_{\Delta}^2+\left(\frac{1}{2}a\right)^2$
$\displaystyle k^2$	$=$	$\displaystyle \frac{25}{4}a^2+\frac{1}{4}a^2$
$\displaystyle k^2$	$=$	$\displaystyle \frac{26}{4}a^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{26}}{2}a$

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Berechne auch die Höhe der Pyramide.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundkörper

Diagonale $d$ des Quadrats mit Satz des Pythagoras bestimmen:

$\displaystyle d$	$=$	$\displaystyle \sqrt{2a^2}$
$\displaystyle d$	$=$	$\displaystyle \sqrt{2}a$

Um $h$ zu berechnen, wende den Satz des Pythagoras an:

$\displaystyle k^2$	$=$	$\displaystyle h^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2$	$\displaystyle -\left(\frac{d}{2}\right)^2$
$\displaystyle h^2$	$=$	$\displaystyle k^2-\left(\frac{d}{2}\right)^2$
$\displaystyle h^2$	$=$	$\displaystyle \frac{26}{4}a^2-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2$
$\displaystyle h^2$	$=$	$\displaystyle \frac{26}{4}a^2-\frac{2}{4}a^2$
$\displaystyle h^2$	$=$	$\displaystyle \frac{24}{4}a^2$
$\displaystyle h^2$	$=$	$\displaystyle 6a^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \sqrt{6}a$
$\displaystyle h$	$\approx ≈$	$\displaystyle 2{,}45a$

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