Aufgaben zu Volumen und Oberflächenberechnung

Ein Würfel und eine gerade Pyramide haben jeweils ein Quadrat der Kantenlänge $a$ als Grundfläche. Beide Körper sollen den gleichen Oberflächeninhalt haben.

Wie lang müssen dann die Seitenkanten der Pyramide sein?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundkörper
Würfel und Pyramide
Gleichsetzung des Oberflächeninhalts des Würfels und der Pyramide:
$6 a^{2}$ $=$ $a^{2} + 4 \cdot A_{Δ}$ $- a^{2}$
$5 a^{2}$ $=$ $4 \cdot A_{Δ}$
↓
Formel für Flächeninhalt eines Dreiecks für $A_{△}$ einsetzen.
$5 a^{2}$ $=$ $2 \cdot a \cdot h_{Δ}$ $: 2 a$
$\frac{5}{2} a$ $=$ $h_{Δ}$
Die Höhe des Dreiecks beträgt $h_{Δ} = \frac{5}{2} a$ .
Um $k$ zu berechnen, wende den Satz des Pythagoras an:
$k^{2}$ $=$ $h_{Δ}^{2} + {(\frac{1}{2} a)}^{2}$
$k^{2}$ $=$ $\frac{25}{4} a^{2} + \frac{1}{4} a^{2}$
$k^{2}$ $=$ $\frac{26}{4} a^{2}$ $\sqrt{}$
$k$ $=$ $\frac{\sqrt{26}}{2} a$
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Berechne auch die Höhe der Pyramide.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundkörper
Diagonale $d$ des Quadrats mit Satz des Pythagoras bestimmen:
$d$ $=$ $\sqrt{2 a^{2}}$
$d$ $=$ $\sqrt{2} a$
Um $h$ zu berechnen, wende den Satz des Pythagoras an:
$k^{2}$ $=$ $h^{2} + {(\frac{d}{2})}^{2}$ $- {(\frac{d}{2})}^{2}$
$h^{2}$ $=$ $k^{2} - {(\frac{d}{2})}^{2}$
$h^{2}$ $=$ $\frac{26}{4} a^{2} - {(\frac{\sqrt{2}}{2} a)}^{2}$
$h^{2}$ $=$ $\frac{26}{4} a^{2} - \frac{2}{4} a^{2}$
$h^{2}$ $=$ $\frac{24}{4} a^{2}$
$h^{2}$ $=$ $6 a^{2}$ $\sqrt{}$
$h$ $=$ $\sqrt{6} a$
$h$ $\approx$ $2,45 a$
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CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch → Was bedeutet das?

$6 a^{2}$	$=$	$a^{2} + 4 \cdot A_{Δ}$	$- a^{2}$
$5 a^{2}$	$=$	$4 \cdot A_{Δ}$
	↓	Formel für Flächeninhalt eines Dreiecks für $A_{△}$ einsetzen.
$5 a^{2}$	$=$	$2 \cdot a \cdot h_{Δ}$	$: 2 a$
$\frac{5}{2} a$	$=$	$h_{Δ}$

$k^{2}$	$=$	$h_{Δ}^{2} + {(\frac{1}{2} a)}^{2}$
$k^{2}$	$=$	$\frac{25}{4} a^{2} + \frac{1}{4} a^{2}$
$k^{2}$	$=$	$\frac{26}{4} a^{2}$	$\sqrt{}$
$k$	$=$	$\frac{\sqrt{26}}{2} a$

$k^{2}$	$=$	$h^{2} + {(\frac{d}{2})}^{2}$	$- {(\frac{d}{2})}^{2}$
$h^{2}$	$=$	$k^{2} - {(\frac{d}{2})}^{2}$
$h^{2}$	$=$	$\frac{26}{4} a^{2} - {(\frac{\sqrt{2}}{2} a)}^{2}$
$h^{2}$	$=$	$\frac{26}{4} a^{2} - \frac{2}{4} a^{2}$
$h^{2}$	$=$	$\frac{24}{4} a^{2}$
$h^{2}$	$=$	$6 a^{2}$	$\sqrt{}$
$h$	$=$	$\sqrt{6} a$
$h$	$\approx$	$2,45 a$

$d$	$=$	$\sqrt{2 a^{2}}$
$d$	$=$	$\sqrt{2} a$

Würfel und Pyramide

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