Aufgaben zu Volumen und Oberflächenberechnung

Eine gerade Pyramide hat als Grundfläche ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b = 2 a$ . Die Höhe der Pyramide beträgt $h = 1,5 a$ .

Berechne die Kantenlängen als Vielfache von $a$ .

Berechne den Oberflächeninhalt der Pyramide in Vielfachen von $a^{2}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide

Berechnung der Länge der Diagonalen $d$

Bestimme die Länge der Diagonalen $d$ des Rechtecks mit dem Satz des Pythagoras.

$\displaystyle d^2$	$=$	$\displaystyle a^2+\left(2a\right)^2$
$\displaystyle d^2$	$=$	$\displaystyle 5a^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle d$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{5}a$

Das negative Ergebnis kannst du vernachlässigen, da Längen nur positiv sein können $\Rightarrow\ d=\sqrt{5}a$

Berechnung der Kantenlänge $k$

Berechne die Länge der Kante $k$ mit dem Satz des Pythagoras.

$\displaystyle k^2$	$=$	$\displaystyle h^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2$
	↓	Setze $d=\sqrt 5 a$ und $h = 1,5 a$ ein.
$\displaystyle k^2$	$=$	$\displaystyle \left(\frac{3}{2}a\right)^2+\left(\frac{\sqrt{5}}{2}a\right)^2$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle k^2$	$=$	$\displaystyle \frac{14}{4}a^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle \pm\frac{\sqrt{14}}{2}a$

Das negative Ergebnis kannst du wieder vernachlässigen, da Längen nur positiv sein können $\Rightarrow\ k=\frac{\sqrt{14}}{2}a$

Bestimmung des Oberflächeninhalts der Pyramide

Die Oberfläche der Pyramide $O_\text{Pyramide}$ besteht aus der Fläche der Grundfläche $G$ und der Mantelfläche $M$ . Die Grundfläche $G$ ist ein Rechteck. Die Mantelfläche $M$ besteht aus 4 Dreiecksflächen, von denen je 2 der Dreicksflächen (und zwar die Gegenüberliegenden) gleich groß sind. Hier sind die Dreicksflächen als $m_{1}$ und $m_{2}$ bezeichnet.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcllc}O_\text{Pyramide}&=&G&+&M\\&=&G&+&2\cdot m_1+2\cdot m_2\end{array}$

Bestimme erstmal die Grundfläche $G$ .

$G=b\cdot a\\=2a\cdot a\\=2a^2$

Um die Mantelfläche zu bestimmen benötigst du die Höhen der Dreiecksflächen. Sie heißen hier $h_{1}$ und $h_{2}$ . Bestimme $h_{1}$ und $h_{2}$ mit dem Satz des Pythagoras.

$\displaystyle h_1^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$	$=$	$\displaystyle k^2$	$\displaystyle -\left(\frac{a}{2}\right)^2$
$\displaystyle h_1^2$	$=$	$\displaystyle k^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2$
$\displaystyle h_1^2$	$=$	$\displaystyle \frac{14}{4}a^2-\frac{1}{4}a^2$
$\displaystyle h_1^2$	$=$	$\displaystyle \frac{13}{4}a^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle h_1$	$=$	$\displaystyle \pm\frac{\sqrt{13}}{2}a$

Da Längen nur positiv sein können, kannst du das negative Ergebnis vernachlässigen $\Rightarrow\ h_1\ =\ \frac{\sqrt{13}}{2}a$

$\displaystyle h_2^2+a^2$	$=$	$\displaystyle k^2$	$\displaystyle -a^2$
$\displaystyle h_2^2$	$=$	$\displaystyle k^2-a^2$
$\displaystyle h_2^2$	$=$	$\displaystyle \frac{14}{4}a^2-a^2$
$\displaystyle h_2^2$	$=$	$\displaystyle \frac{10}{4}a^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle h_2$	$=$	$\displaystyle \pm\frac{\sqrt{10}}{2}a$

Da Längen nur positiv sein können, kannst du das negative Ergebnis vernachlässigen $\Rightarrow\ h_2\ =\ \frac{\sqrt{10}}{2}a$

Jetzt kannst du die Dreiecksflächen berechnen.

$m_1=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_1\\=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{\sqrt{13}}{2}a\\=\frac{\sqrt{13}}{4}a^2$

$m_2=\frac12\cdot b\cdot h_{2}\\=\frac12\cdot2a\cdot\frac{\sqrt{10}}2a\\=\frac{\sqrt{10}}2a^2$

Jetzt lässt sich die Oberfläche bestimmen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}O_\text{Pyramide}&=&G+2\cdot m_1+2\cdot m_2\\&=&2a^2+2\cdot\frac{\sqrt{13}}4a^2+2\cdot\frac{\sqrt{10}}2a^2\\&=&\left(2+\frac{\sqrt{13}}2+\sqrt{10}\right)a^2\\&\approx &6{,}97a^2\end{array}$

Der Oberflächeninhalt der Pyramide beträgt in etwa $6{,}97a^2$ .

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Berechnung der Länge der Diagonalen ddd

Berechnung der Kantenlänge kkk

Bestimmung des Oberflächeninhalts der Pyramide

Berechnung der Länge der Diagonalen $d$

Berechnung der Kantenlänge $k$