Im gleichseitigen Dreieck gilt mit Pythagoras:

$h_a=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{3\cdot a^2}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$

$A_{\Delta_G}=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}a=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2$

Betrachte das Dreieck $ADS$.

Die Seite $AD$ ist die Höhe des gleichseitigen Dreiecks $ABC$.

Die Seitenhalbierenden (Höhen) schneiden sich im Verhältnis $2:1$.

Für die Strecke $p$ gilt dann:

$p=\dfrac{2}{3}\cdot\overline{AD}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}a =\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$

Für $q$ gilt: $q=\dfrac{1}{3}\cdot\overline{AD}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}a =\dfrac{\sqrt{3}}{6}a$

Im rechtwinkligen Dreieck $AHS$ ist

$h_P = 2a$. Dann gilt wieder mit Pythagoras:

$k^2=p^2+h_P^2=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}a\right)^2+(2a)^2$

$k^2=\dfrac{1}{3}a^2+4a^2=\dfrac{13}{3}a^2$

$\Rightarrow\;k=\sqrt{\dfrac{13}{3}}a=\dfrac{\sqrt{39}}{3 }a$

Die Seitenkantenlänge $k$ ist:

Im rechtwinkligen Dreieck $HDS$ gilt:

$h_{\Delta}^2=h_P^2+q^2=(2a)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{6}a\right)^2=4a^2+\dfrac{1}{12}a^2=\dfrac{49}{12}a^2$

$\Rightarrow\;h_{\Delta}=\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{12}}a=\dfrac{7}{2\sqrt{3}}a=\dfrac{7\cdot \sqrt{3}}{6}a$