Dann gilt im Dreieck $AMS$ mit dem Satz des Pythagoras:

$h^2=(3a{)}^2-{\left({\displaystyle \frac{d}{2}}\right)}^2$

$h^2=9a^2-{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}a}{2}}\right)}^2$

$\Rightarrow h=\sqrt{9a^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{34}}{2}}a$

Im gezeichneten Dreieck ist die Dreiecksgrundseite die halbe Dreiecksseite $a$.

Im Dreieck gilt dann mit dem Satz des Pythagoras:

$h_{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{(3a{)}^2-{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2}=\sqrt{9a^2-{\displaystyle \frac{a^2}{4}}}$

$h_{\mathrm{\Delta }}={\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{2}}a$

Für den Oberflächeninhalt folgt dann:

$O=G+4\cdot A_{\mathrm{\Delta }}=G+4\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot h_{\mathrm{\Delta }}$

$O=a^2+4\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot a\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{2}}\cdot a$

$O=a^2+\sqrt{35}\cdot a^2=(1+\sqrt{35})\cdot a^2$

$O\approx \mathrm{6,916}{a}^2$

Die Länge der Dreiecksseite $[AB]$ ist die Diagonalenlänge $d=\sqrt{2}a$.

Die Höhe $h$ in diesem Dreieck ist die halbe Pyramidenhöhe.

$\Rightarrow h={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{\sqrt{34}}{2}}a={\displaystyle \frac{\sqrt{34}}{4}}a$

Die Längen der beiden Seiten $[AC]$ und $[BC]$ sind gleich groß. Die Länge wird wieder mit dem Satz des Pythagoras berechnet:

$\overline{AC}=\overline{BC}=\sqrt{h^2+{\left({\displaystyle \frac{d}{2}}\right)}^2}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{34}}{4}}a\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}a}{2}}\right)}^2}$

Im linken Dreieck gilt:

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{h}{\frac{d}{2}}}={\displaystyle \frac{2\cdot h}{d}}$

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{2\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{34}}{4}}a}{\sqrt{2}a}}$

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{34}}{2\cdot \sqrt{2}}}$

$\Rightarrow \alpha ={\tan }^{-1}\left({\displaystyle \frac{\sqrt{34}}{2\cdot \sqrt{2}}}\right)\approx {\mathrm{64,12}}^{\circ }$

Der Winkel $ABC$ ist gleich dem Winkel $\alpha$.

Der Winkel $ACB={180}^{\circ }-2\cdot \alpha ={180}^{\circ }-{\mathrm{128,24}}^{\circ }={\mathrm{51,56}}^{\circ }$.