Dann gilt im Dreieck $AMS$ mit dem Satz des Pythagoras:

$h^2=(3a)^2-\left(\dfrac{d}{2}\right)^2$

$h^2=9a^2-\left(\dfrac{\sqrt{2}a}{2}\right)^2$

$\Rightarrow\;h=\sqrt{9a^2-\dfrac{1}{2}a^2}=\dfrac{\sqrt{34}}{2}a$

Im gezeichneten Dreieck ist die Dreiecksgrundseite die halbe Dreiecksseite $a$.

Im Dreieck gilt dann mit dem Satz des Pythagoras:

$h_{\Delta}=\sqrt{(3a)^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{9a^2-\dfrac{a^2}{4}}$

$h_{\Delta}=\dfrac{\sqrt{35}}{2}a$

Für den Oberflächeninhalt folgt dann:

$O=G+4\cdot A_{\Delta}=G+4\cdot\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_{\Delta}$

$O=a^2+4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot \dfrac{\sqrt{35}}{2}\cdot a$

$O=a^2+\sqrt{35}\cdot a^2=(1+\sqrt{35})\cdot a^2$

$O\approx6{,}916 a^2$

Die Länge der Dreiecksseite $[AB]$ ist die Diagonalenlänge $d=\sqrt{2}a$.

Die Höhe $h$ in diesem Dreieck ist die halbe Pyramidenhöhe.

$\Rightarrow\;h=\dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt{34}}{2}a=\dfrac{\sqrt{34}}{4}a$

Die Längen der beiden Seiten $[AC]$ und $[BC]$ sind gleich groß. Die Länge wird wieder mit dem Satz des Pythagoras berechnet:

$\overline{AC}=\overline{BC}=\sqrt{h^2+\left(\dfrac{d}{2}\right)^2}=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{34}}{4}a\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{2}a}{2}\right)^2}$

Im linken Dreieck gilt:

$\tan\alpha=\dfrac{h}{\frac{d}{2}}=\dfrac{2\cdot h}{d}$

$\tan\alpha=\dfrac{2\cdot \dfrac{\sqrt{34}}{4}a}{\sqrt{2}a}$

$\tan\alpha=\dfrac{\sqrt{34}}{2\cdot \sqrt{2}}$

$\Rightarrow\;\alpha=\tan^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{34}}{2\cdot \sqrt{2}}\right)\approx 64{,}12^\circ$

Der Winkel $ABC$ ist gleich dem Winkel $\alpha$.

Der Winkel $ACB=180^\circ-2\cdot \alpha=180^\circ-128{,}24^\circ=51{,}56^\circ$.