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Teilaufgabe a)

Die Formeln zur Berechung der Volumina eines Zylinders bzw. eines Kegels lauten:

$V_{\text{Zylinder}}=G\cdot h=\pi \cdot r^2\cdot hV\_\{\backslash text\{Zylinder\}\}\backslash \; =\backslash \; G\backslash \; \backslash cdot\backslash \; h\backslash \; =\backslash \; \backslash pi\backslash \; \backslash cdot\backslash \; r^2\backslash \; \backslash cdot\backslash \; h\backslash$

$V_{\text{Kegel}}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot hV\_\{\backslash text\{Kegel\}\}\backslash \; =\backslash \; \backslash frac\{1\}\{3\}\backslash \; \backslash cdot\backslash \; G\backslash \; \backslash cdot\backslash \; h\backslash \; =\backslash \; \backslash frac\{1\}\{3\}\backslash \; \backslash cdot\backslash \; \backslash pi\backslash \; \backslash cdot\backslash \; r^2\backslash \; \backslash cdot\backslash \; h$

Die Grundfläche ist bei beiden Körpern gleich. Das Volumen des Kegels beträgt also nur ein Drittel der des Zylinders. Oder andersherum ist das Volumen des Zylinders dreimal so groß wie die des Kegels.

Also ist die Aussage richtig!

Teilaufgabe b)

Die Oberfläche des Quaders besteht aus vier Flächen von $20\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 10\mathrm{c}\mathrm{m}20\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}\backslash ;\backslash cdot\backslash ;10\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}$ und zwei Flächen von $10\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 10\mathrm{c}\mathrm{m}10\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}\backslash ;\backslash cdot\backslash ;10\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}$.

Der Oberflächeninhalt des Quaders ist also nicht doppelt so groß wie der des Würfels.

Also ist die Aussage falsch.

Teilaufgabe c)

Das Volumen des Quader ist kleiner als $3000c{m}^{3}3000\backslash \; cm^3$.

Also ist die Aussage falsch.

Teilaufgabe d)

Die Oberfläche eines Zylinders berechnet sich mit (der Einfachkeit halber mit $\pi =3\backslash mathrm\backslash pi=3$ gerechnet: $\begin{array}{c}{O}_{\text{Zylinder}}=2\cdot G+M(2\text{mal}\text{Grundfl}\ddot{\text{a}}\text{che}\text{plus}\text{Mantelfl}\ddot{\text{a}}\text{che})\\ O_{\text{Zylinder}}=2\cdot \pi \cdot {\mathrm{r}}^2+2\cdot \pi \cdot \mathrm{r}\cdot \mathrm{h}\\ O_{\text{Zylinder}}=2\cdot 3\cdot 5^2+2\cdot 3\cdot 5\cdot 10=450{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}O\_\{\backslash text\{Zylinder\}\}=2\backslash cdot\; G+M\backslash ;(2\backslash ;\backslash text\{mal\}\backslash ;\backslash text\{Grundfläche\}\backslash ;\backslash text\{plus\}\backslash ;\backslash text\{Mantelfläche\})\backslash \backslash O\_\{\backslash text\{Zylinder\}\}=2\backslash cdot\backslash mathrm\backslash pi\backslash cdot\backslash mathrm\; r^2+2\backslash cdot\backslash mathrm\backslash pi\backslash cdot\backslash mathrm\; r\backslash cdot\backslash mathrm\; h\backslash \backslash \{O\}\_\{\{\backslash text\{Zylinder\}\}\}=2\backslash cdot3\backslash cdot5^2+2\backslash cdot3\backslash cdot5\backslash cdot10=450\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}^2\backslash end\{array\}$

Die Oberfläche des Würfels beträgt

$O_{\text{W}\ddot{\text{u}}\text{rfel}}=6\cdot 10cm\cdot 10cm=600c{m}^{2}O\_\{\backslash text\{Würfel\}\}\backslash \; =\backslash \; 6\backslash \; \backslash cdot\backslash \; 10\backslash \; cm\backslash \; \backslash cdot\backslash \; 10\backslash \; cm\backslash \; =\backslash \; 600\backslash \; cm^2$

Selbst wenn man mit $\pi =\mathrm{3,14}\backslash mathrm\backslash pi=3\{,\}14$ rechnen würde, was eine geringfügig größere Zahl bei der Oberfläche des Zylinders zu Folge hätte, ist die Oberfläche des Zylinders kleiner als die des Würfels.

Also ist die Aussage falsch.