Teil A

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Der Mann ist ungefähr 1,80 m groß. Zwei der Quadrate rechts neben ihm sind zusammen etwas höher, also 2 m. Somit ist jedes Quadrat $\;1m\cdot1m\;=\;1\;m^2$ groß.

Die Gesamtfläche berechnet sich aus den sechs Quadraten und den zwei Viertelkreisen oben.

$A_{gesamt}\ =\ 6\ \cdot\ A_{Quadrat}\ +\ A_{Halbkreis}$

Der Halbkreis hat einen Radius von 1 m.

Die Fläche eines Kreises berechnest du mit

$A_{Kreis}\ =\ \pi\ \cdot\ r^2$

und somit die des Halbkreises mit

$A_{Halbkreis}\ =\ \frac{\pi\ \cdot\ r_{ }^2}{2}$

Einsetzten der Zahlen:

$A_{Halbkreis}=\ \frac{3\cdot1\ m^2}{2}\ =\ 1{,}5\ m^{2\ }$

Somit ist die insgesamt zu reinigende Fläche

$A_{gesamt}\ =\ 6\cdot1\ m^2\ +\ 1{,}5\ m^2\ =\ 7{,}5\ m^2$

Bei $3 €$ pro Quadratmeter Reinigungskosten kostet das Putzen der Scheibe

$Kosten\ =\ 7{,}5\ m^{2\ }\ \cdot\ 3\ €\ =\ 22{,}50\ €$

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Die Summe aller Zeilen, Spalten und Diagonalen soll gleich sein.

Die Diagonale von links oben nach rechts unten ist vorgegeben.

$\text{Summe}\ =\ 0{,}9\ +\ 0{,}6\ =\ 0{,}3\ =\ 1{,}8$

In der Linken Spalte sind zwei Zahlen vorgegeben. Die dritte erhält man durch Subtraktion:

$\text{Wert links unten} =\ 1{,}8\ -\ 0{,}9\ -\ 0{,}4\ =\ 0{,}5$

Gleiches vorgehen für die rechte Spalte:

$\text{Wert rechts oben} =\ 1{,}8\ -\ 0{,}8\ -\ 0{,}3\ =\ 0{,}7$

Bleiben noch die Werte oben Mitte und unten Mitte:

$\text{Wert Mitte oben} =\ 1{,}8\ -\ 0{,}9\ -\ 0{,}7\ =\ 0{,}2$

$\text{Wert Mitte unten} =\ 1{,}8\ -\ 0{,}5\ -\ 0{,}3\ =\ 1{,}0$

Damit sieht das magische Quadrat folgendermaßen aus (errechnete Werte in rot):

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Lösung von Gleichungen

Für diese Aufgabe benötigst du Kenntnisse über die Umformung von Gleichungen.

Bei dieser Aufgabe musst du von unten nach oben arbeiten und immer genau das Gegenteil von dem tun, was hinter dem Spiegelstrich der jeweiligen Zeile steht.

Um von der letzten Zeile $x\;=\;9$ zur vorletzten zu kommen, musst du beide Seiten mit $3$ multiplizieren:

Um zur drittletzten Zeile zu gelangen, musst du auf beiden Seiten $5$ addieren.

Die vollständige Rechnung sieht so aus:

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In dieser Aufgabe geht es um Prozentrechnung und Prozentrechnung mittels Dreisatz.

Die Anzahl Würfe entspricht dem Grundwert, die Treffer dem Prozentwert und die Trefferquote dem Prozentsatz.

Die drei fehlenden Werte der Tabelle entsprechen also

• bei Burak der Ermittlung des Prozentsatzes

• bei Aileen um die Berechnung des Grundwerts

• und bei Thomas um den Prozentwert.

Da im Teil A der Prüfung keine Formelsammlung zugelassen ist, ist es hilfreich, die Formeln zur Prozentrechnung zu kennen oder aber mit dem Dreisatz zu arbeiten. Oder man wendet die im Folgenden "einfache Rechnung" genannte Methode an.

Burak:

Einfache Rechnung:15 von 25 Würfen waren Treffer, also $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\frac{15\;\text{Treffer}}{25\;\text{Würfe}}=0{,}6=60\%\end{array}$

Die Trefferquote bei Burak beträgt $60\%$.

Aileen:

Die einfache Rechnung: 5 Treffer entsprechen einem Viertel der Versuche, also gab es

Aileen hatte $20$ Würfe.

Thomas:

Er hat 16 Versuche, davon sind 75% (=3/4=0,75) Treffer. Gesucht ist die Anzahl Treffer.

Die einfache Rechnung:

Thomas hatte 12 Treffer.

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Teilaufgabe a)

Die Formeln zur Berechung der Volumina eines Zylinders bzw. eines Kegels lauten:

$V_{\text{Zylinder}}\ =\ G\ \cdot\ h\ =\ \pi\ \cdot\ r^2\ \cdot\ h\$

$V_{\text{Kegel}}\ =\ \frac{1}{3}\ \cdot\ G\ \cdot\ h\ =\ \frac{1}{3}\ \cdot\ \pi\ \cdot\ r^2\ \cdot\ h$

Die Grundfläche ist bei beiden Körpern gleich. Das Volumen des Kegels beträgt also nur ein Drittel der des Zylinders. Oder andersherum ist das Volumen des Zylinders dreimal so groß wie die des Kegels.

Also ist die Aussage richtig!

Teilaufgabe b)

Die Oberfläche des Quaders besteht aus vier Flächen von $20\;\mathrm{cm}\;\cdot\;10\;\mathrm{cm}$ und zwei Flächen von $10\;\mathrm{cm}\;\cdot\;10\;\mathrm{cm}$.

Der Oberflächeninhalt des Quaders ist also nicht doppelt so groß wie der des Würfels.

Also ist die Aussage falsch.

Teilaufgabe c)

Das Volumen des Quader ist kleiner als $3000\ cm^3$.

Also ist die Aussage falsch.

Teilaufgabe d)

Die Oberfläche eines Zylinders berechnet sich mit (der Einfachkeit halber mit $\mathrm\pi=3$ gerechnet: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}O_{\text{Zylinder}}=2\cdot G+M\;(2\;\text{mal}\;\text{Grundfläche}\;\text{plus}\;\text{Mantelfläche})\\O_{\text{Zylinder}}=2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2+2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm r\cdot\mathrm h\\{O}_{{\text{Zylinder}}}=2\cdot3\cdot5^2+2\cdot3\cdot5\cdot10=450\;\mathrm{cm}^2\end{array}$

Die Oberfläche des Würfels beträgt

$O_{\text{Würfel}}\ =\ 6\ \cdot\ 10\ cm\ \cdot\ 10\ cm\ =\ 600\ cm^2$

Selbst wenn man mit $\mathrm\pi=3{,}14$ rechnen würde, was eine geringfügig größere Zahl bei der Oberfläche des Zylinders zu Folge hätte, ist die Oberfläche des Zylinders kleiner als die des Würfels.

Also ist die Aussage falsch.

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Bei dieser Aufgabe musst du dir zunächst überlegen, wie lang ein Stück Schlauch ist, wenn es einmal um die Rolle gewickelt wird. Zur Berechnung wird die Formel für den Kreisumfang benutzt:

$U_{Kreis}\ =\ 2\ \cdot\ \pi\ \cdot\ r$

$U_{Kreis}\ =\ 2\ \cdot\ 3\ \cdot\ 20\ cm\ =\ 120\ cm\ =\ 1{,}2\ m$

Jetzt musst du noch die gegebenen $12 \;m$ durch $1{,}2\;m$ dividieren:

$Anzahl\ Drehungen\ =\ \frac{12\ m\ }{1{,}2\ m}=\ 10$

Martina muss die Rolle zehnmal drehen.

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Von den 200 Schülerinnen und Schülern sind je 50 für Klettern und Fußball angemeldet. Die beiden zusammen müssen also eine Hälfte des Tortendiagramm einnehmen.

Das ist nur bei folgender Option der Fall:

Von der Prozentrechnung her entsprechen 50 Schülerinnen und Schüler einem Viertel oder 25% der Gesamtzahl. Nur in der obersten Option sind je zwei Viertel eingezeichnet.

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Bei dieser Aufgabe gibt es zwei Lösungswege:

Lösungsweg 1

Der Pfeil besteht aus einem Quadrat und zwei Dreiecken:

$A_{gesamt}\ =\ A_{Quadrat}\ +\ 2\cdot\ A_{Dreieck}$

$A_{Quadrat}\ =\ a\ \cdot\ a\ =\ 5\ cm\ \cdot\ 5\ cm\ =\ 25\ cm^2$

$A_{Dreieck}\ =\ \frac{g\cdot h}{2}\ =\ \frac{5\ cm\ \cdot\ 5\ cm}{2}\ =\ 12{,}5\ cm^2$

$A_{gesamt\ }\ =\ 25\ cm^{2\ }\ +\ 2\cdot\ 12{,}5\ cm^2\ =\ 50\ cm^2$

Lösungsweg 2

Die Pfeilecken kann man als Dreiecke betrachtet (rot markiert). Diese legen wir an die Pfeilspitze an (grüner Platzhalter). Nun ergibt sich ein Rechteck mit bekannter Höhe und Länge.

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Der Satz des Pythagoras lautet:

wobei $c$ die Hypotenuse ist und $a$ und $b$ die Katheten.

Furkans Lösung sieht so aus, als wolle er die Länge der Hypotenuse ausrechnen. Die gesucht Länge $h$ ist aber eine Kathete. Immer wenn eine Kathete gesucht ist, kann man sie mit der umgestellten Formel berechnen:

oder

In Furkans Berechung muss die erste Zeile also lauten:

Sein Pluszeichen muss durch ein Minuszeichen ersetzt werden.

Damit ist die Frage richtig beantwortet.

Optional könnte man die Aufgabe so zu Ende rechnen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} 16\ \text{cm}^2\ -\ 9\ \text{cm}^2 &=& h^2 \\ 7\ \text{cm}^2 &=& h^2 \qquad \qquad \vert\ \sqrt{} \\ \sqrt{7\ \text{cm}^2} &=& h \end{array} \\$

$A\ =\ \dfrac{6\ \text{cm}\cdot \sqrt{7}\ \text{cm}}{2}\ =\ 3\ \text{cm} \cdot \sqrt{7}\ \text{cm}\ =\ 7{,}94\ \text{cm}^2$