Prozentrechnung mittels Formeln

Aufgaben zur Prozentrechnung lassen sich auf unterschiedliche Weisen lösen. In diesem Artikel findet man die wichtigsten Formeln mit Erklärungen und Beispielen. Eine alternative Lösungsmethode ist das Lösungsverfahren mittels Dreisatz.

Für eine grundsätzliche Anschauung zum Prozentzeichen und seiner Bedeutung siehe Prozent. Hier werden auch die Fachbegriffe Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz erklärt.

Eine detaillierte Einführung in all diese Begriffe gibt es in dem Kurs Einführung in Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz.

Formeln für die Prozentrechnung

In den Formeln zur Prozentrechnung werden hier die folgenden Zeichen benutzt:

$W$ : Prozentwert $G$ : Grundwert $p$ : Prozentsatz

Um den Prozentwert, den Grundwert oder den Prozentsatz zu berechnen, braucht man sich nur eine Pyramide zu merken (in der Graphik kommt die gleiche Pyramide dreimal vor).

Sucht man zum Beispiel den Grundwert, so muss man ihn nur mit dem Finger zudecken (grauer Kreis in der oberen Pyramide). Übrig bleibt die Formel

\displaystyle G=\frac{W}{p}

(Der Strich unter dem $W$ bedeutet also eine Division.)

Genauso kann man den Prozentsatz oder den Prozentwert finden, indem man ihn in der Pyramide zudeckt.

Zusammengefasst lauten die Formeln:

Grundwert

\displaystyle G=\frac{W}{p}

Prozentsatz

\displaystyle G=\frac{W}{p}

Prozentwert

\displaystyle G=\frac{W}{p}

Bemerkung

Leider ist die Abkürzung für die drei Größen Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz nicht immer gleich, es gibt viele alternative Bezeichnungen (z. B. Prozentwert $PW$ oder $P$ – großgeschrieben zur Unterscheidung vom Prozentsatz $p$ , Grundwert $GW$ , …).

Achtung

Wenn der Prozentsatz z. B. $5\,\%$ ist, dann ist $p = 0{,}05$ und nicht $5$ .
Wenn der Prozentsatz z. B. $5\,\%$ ist, wird in manchen Schularten dieser Prozentsatz in die Formel $p=\frac{5\,\%}{100\,\%}$ eingesetzt, um $p$ zu erhalten.

Man kann diese Umrechnung auch bereits in den Formeln berücksichtigen und diese mit 100 % multiplizieren bzw. dividieren, um direkt die Prozentzahlen einsetzen zu können. Die %-Zeichen kürzen sich bei der Berechnung des Grund- oder des Prozentwerts, bei der Ermittlung des Prozentsatzes erhält man das Ergebnis gleich in der Prozentdarstellung.

Fragestellungen

	Prozentwert	Grundwert	Prozentsatz
Beschreibung	Der Prozentwert $W$ gibt Antwort auf Fragen wie: „Wie viele Schüler sind $25\,\%$ von $24$ Schülern?“	Der Grundwert $G$ gibt Antwort auf Fragen wie: „Wenn $6$ Schüler $25\,\%$ der Klasse sind, wie viele Schüler hat dann die ganze Klasse?“	Der Prozentsatz $p$ gibt Antwort auf Fragen wie: „Wie viel Prozent machen $6$ Schüler von $24$ Schülern aus?“
Beispiel	„Wie viel sind $3\,\%$ von $100$ Euro?“	„Wenn Sie beim Kauf eines Autos $500\,$ € Rabatt bekommen haben und dies $15\,\%$ Rabatt auf den Kaufpreis entspricht, wie hoch war dann der Kaufpreis für das Auto?“	„Wenn der Gewinn eines Unternehmens im Vorjahr $10\,000\,$ € betrug und der Gewinn dieses Jahr bei $12\,000\,$ € liegt, wie viel Prozent Gewinn hat das Unternehmen erwirtschaftet?“

Beispielaufgaben zur Prozentrechnung

Doch wie wendet man die Formeln zur Lösung von Aufgaben zur Prozentrechnung an? Folgende Beispiele erklären, wie man den Prozentwert, Grundwert oder Prozentsatz berechnet.

Hinweis: Der Artikel Prozentrechnung mittels Dreisatz löst die gleichen Aufgaben auf eine andere Art und Weise.

Prozentwert gesucht

Wie viel sind $30\,\%$ von $250\,€$ ?

Einsetzen in die Prozentformel:

$W=p\cdot G=30\%\cdot250\,€=0{,}3\cdot250\,€=75\,€$

oder

$W=p\cdot G=30\,\%\cdot250\,€ =75\,€$

Antwort:

$30\,\%$ von $250\,$ € sind $75\,$ €.

Grundwert gesucht

Eine Ware wurde um $20\,\%$ verbilligt und kostet jetzt $160\,$ €. Was kostete sie vorher?

Einsetzen in die Prozentformel:

Der Prozentwert $W$ gibt den Anteil am Grundwert an. Da die Ware um $20\,\%$ verbilligt wurde, kostet sie nur noch $80\,\%$ des Ausgangspreises, also des Grundwerts.

$G=\dfrac Wp=\dfrac{160\,€}{80\,\%}= \dfrac {160\,€}{0{,}80}=200\,€$

Antwort:

Sie kostete vorher $200\,$ €.

Prozentsatz gesucht

Von den $25$ Schülern haben $8$ zu Hause eine Katze. Wie viel Prozent der Klasse sind das?

Einsetzen in die Prozentformel:

\displaystyle G=\frac{W}{p}

Antwort:

Es sind $32\,\%$ .

Weiterführende Links

Mehr Informationen zum Thema „Rechnen mit Prozenten“ findest Du hier:

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Prozent- und Zinsrechnung

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