Der Satz des Pythagoras stellt eine Beziehung zwischen den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks/math/wiki/article/view/dreieck her. Nennt man die Hypotenuse/math/wiki/article/view/hypotenuse c, und die anderen beiden Seiten a und b (Katheten/math/wiki/article/view/kathete), dann gilt die Gleichung:

$a^2+b^2=c^2$

Wenn man zwei Seiten kennt, lässt sich damit die Gleichung nach der dritten auflösen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}a=\sqrt{c^2-b^2}\\b=\sqrt{c^2-a^2}\\c=\sqrt{a^2+b^2}\end{array}$

/// Beweis

Für den Satz des Pythagoras gibt es viele sehr verschiedene Beweise. Einer soll hier beschrieben werden. Er macht nichts anderes, als sich mit dem rechtwinkligen Dreieck ein bestimmtes Quadrat zusammenzusetzen und dessen Fläche dann auf zwei verschiedene Arten auszudrücken.

Wir starten mit einem beliebigen rechtwinkligen Dreieck:

und setzen uns daraus ein Quadrat zusammen:

Dann können wir die Fläche A des großen Quadrates auf zwei verschiedene Arten ausdrücken:

Durch Gleichsetzen erhalten wir die Gleichung

$(a+b)^2=2\mathrm{ab}+c^2$ ,

die man umformen kann zu:

$a^2+2\mathrm{ab}+b^2=2\mathrm{ab}+c^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\vert-2\mathrm{ab}$       

$a^2+b^2=c^2$                 

///

Beispiel

Gegeben sind die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks $a=4$ und $b=3$ . Berechne die Hypothenuse c.

$c^2=4^2+3^2$

Setze in den Satz des Pythagoras ein und rechne die rechte Seite aus.

$c^2=16+9=25$

Ziehe die Wurzel/math/wiki/article/view/quadratwurzel

$c=5$

/// Weitere Beispielaufgaben

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Anwendung

• Berechnung der dritten Seite eines rechtinkligen Dreiecks, in dem zwei Seiten schon bekannt sind (siehe oben).

• Berechnung des Abstandes zweier Punkte/math/wiki/article/view/abstand-zweier-punkte-berechnen.

Video

Youtube Videohttp://www.youtube.com/embed/yCzMPOrUAgQ

Erläuterungen

09:00 Primfaktorzerlegung/math/wiki/article/view/primfaktorzerlegung

Youtube Videohttp://www.youtube.com/embed/yNZvxdGNt1c