Die Varianz ist in der Stochastik/1521 ein Maß dafür, wie stark eine Zufallsvariable X von ihrem Erwartungswert/1591 $E\left(x\right)$ abweicht.

Sie ist definiert als der Erwartungswert der quadratischen Abweichung vom Erwartungswert $\mu=E(X)$ :

$V(X)=E((X-\mu)^2)\;$

Für diskrete Zufallsvariablen ist der Erwartungswert als Summe definiert, deswegen erhalten wir auch die Form

$V(X)=P(X_1)\cdot(X_1-\mu)^2+P(X_2)\cdot(X_2-\mu)^2+…+P(X_n)\cdot(X_n-\mu)^2$

Beispiel

Man zieht aus einer Urne, in der 3 rote und 5 blaue Kugeln sind, nacheinander 3 Kugeln ohne Zurücklegen. Ist eine der Kugeln rot, erhält man eine Münze, bei zwei roten Kugeln zwei Münzen und zieht man nur rote Kugeln drei Münzen.

Gewinn ${\mathit x}_\mathit i$ keine Münze 1 Münze 2 Münzen 3 Münzen

[Wahrscheinlichkeit](/1753) $P(X={\mathit x}_\mathit i)$ $\frac5{28}$ $\frac{15}{28}$ $\frac{15}{56}$ $\frac1{56}$

$E\left(X\right)=0\cdot\frac5{28}+1\cdot\frac{15}{28}+2\cdot\frac{15}{56}+3\cdot\frac1{56}=1{,}125$

Zunächst Erwartungswert/1591 berechnen

$\;\;\Rightarrow\;\;V\left(0\right)=\left(0-1{,}125\right)^2\cdot\frac5{28}\approx0{,}226$

Die Einzelvarianzen lassen sich mit der Formel $V(X_i)\;=\;(X_i-Ex)^2\;\cdot\;P(X=x_i)$ berechnen.

Hierbei ist ${\mathit x}_\mathit i$ der Gewinn, $\mathit E\mathit x$ der errechnete Erwartungswert und P die dem Gewinn entsprechende Wahrscheinlichkeit.

$V\left(X\right)=V\left(0\right)+V\left(1\right)+V\left(2\right)+V\left(3\right)$

Varianz durch Addition der Einzelvarianzen berechnen

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}V\left(X\right)=&(0-1{,}125)^2\cdot\frac5{28}&+\left(1-1{,}125\right)^2\cdot\frac{15}{28}&+\left(2-1{,}125\right)^2\cdot\frac{15}{56}&+\left(3-1{,}125\right)^2\cdot\frac1{56}\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}V\left(X\right)=&0{,}226\overset\;\;&+\;0{,}00837&+0{,}205&+0{,}0338\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cc}V\left(X\right)=&0{,}473\overset\;\;\end{array}$

/// Beispielaufgabe

Es wird eine Münze geworfen. Kopf sei 1 und Zahl sei 0. Bestimme die Varianz der Zufallsgröße X=Wurfergebnis.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\mathrm E\left(\mathrm X\right)=0\cdot\mathrm P\left(\mathrm X=0\right)+1\cdot\mathrm P\left(\mathrm X=1\right)=0{,}5\\\mathrm V\left(\mathrm X\right)=\mathrm P\left(\mathrm X=1\right)\cdot\left(1-0{,}5\right)^2+\mathrm P\left(\mathrm X=0\right)\cdot\left(0-0{,}5\right)^2=2\cdot0{,}5^3=0{,}25\end{array}$

///

Wichtige Varianzen

Bernoulli-Verteilung/2013

$\mathrm V(\mathrm X)\;=\;\;\mathrm p\;\cdot\;(1-\mathrm p)$

Binomialverteilung/1587

$\mathrm V(\mathrm X)\;=\;\mathrm n\;\cdot\;\mathrm p\;\cdot\;(1-\mathrm p)$

Normalverteilung/2133

Die Normalverteilung wird immer mit der Varianz angegeben.

Ist X also normalverteilt mit Parametern $\mathrm\mu$ und $\mathrm\sigma^2$ , dann ist die Varianz $\mathrm\sigma^2$ .

$\mathrm X\sim\mathrm N\left(\mathrm\mu\;,\;\mathrm\sigma^2\right)\;\Rightarrow\;\mathrm V(\mathrm x)\;=\mathrm\sigma^2$

Rechenregeln

Lineare Transformation

$\style{font-size:14px}{\mathrm V\left(\mathrm{aX}+\mathrm b\right)=\mathrm a^2\cdot\mathrm V\left(\mathrm X\right)\;;\;\;\;\mathrm a,\mathrm b\;\in\mathbb{R}}$

Varianz einer Summe von n unabhängigen Zufallsvariablen

$\style{font-size:14px}{\mathrm V\left({\textstyle\sum_{\mathrm i=1}^\mathrm n}{\mathrm X}_\mathrm i\right)={\textstyle\sum_{\mathrm i=1}^\mathrm n}\mathrm V\left({\mathrm X}_\mathrm i\right)}$

Video

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