Erwartungswert

Der Erwartungswert sollte nicht mit dem arithmetischen Mittel verwechselt werden, hängt aber mit ihm zusammen.

Zum Beispiel erwartet man beim 6-maligen Werfen eines fairen Würfels einmal die Zahl "5" und durchschnittlich die Augenzahl 3,5. Wenn man den Würfel 6-mal wirft, kann die Zahl "5" jedoch 0- bis 6-mal auftreten und die durchschnittliche Augenzahl im Intervall von 1 bis 6 liegen.

Berechnung

Diskrete Zufallsvariablen

Formel

Für eine diskrete Zufallsgröße $\text{X}$ mit Werten $x_1,x_2\dots,x_n$ und deren Wahrscheinlichkeiten $\text{P}(\text{X}=x_i)$ berechnet man den Erwartungswert, den man normalerweise mit $\text E (\text X )$ oder $\mu$ bezeichnet, wie folgt.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{c c l}\text E (\text X) & = & x_1\cdot\text P (\text X =x_1) +x_2\cdot\text P (\text X =x_2) +\cdots+x_n\cdot\text P (\text X =x_n) \\ & = & \sum\limits_{i=1}^{n}x_i\cdot\text P (\text X = x_i)\end{array}$

Der Erwartungswert berechnet sich also als Summe der Produkte von Wert und dessen Wahrscheinlichkeit.

Beispiel

Werfen von zwei Laplace-Würfeln. Die Werte der Zufallsgröße $\text X$ sind genau die Summe der Augenzahlen.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array} {c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c}x & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\\hline \text P(\text X = x) & \frac{1}{36} & \frac{2}{36} & \frac{3}{36} & \frac{4}{36} & \frac{5}{36} & \frac{6}{36} & \frac{5}{36} & \frac{4}{36} & \frac{3}{36} & \frac{2}{36} & \frac{1}{36}\end{array}$

Damit ergibt sich für den Erwartungswert für dieses Experiment.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{c c l} \text E(\text X)& = & 2\cdot\frac{1}{36}+3\cdot\frac{2}{36}+4\cdot\frac{3}{36}+5\cdot\frac{4}{36}+6\cdot\frac{5}{36}+7\cdot\frac{6}{36}\\ & & +\,8\cdot\frac{5}{36}+9\cdot\frac{4}{36}+10\cdot\frac{3}{36}+11\cdot\frac{2}{36}+12\cdot\frac{1}{36}\\ & = & 7\end{array}$

Dies bedeutet also, dass man beim Werfen von zwei fairen Würfeln im Mittel eine "7" würfelt.

Stetige Zufallsvariablen

Formel

Für eine stetige Zufallsvariable $\text X$ mit Werten in $[\text a,\text b]$ und Dichtefunktion $f$ berechnet man den Erwartungswert, den man auch hier mit $\text E(\text X)$ oder $\mu$ bezeichnet, wie folgt.

$\displaystyle\text E(\text X)=\int\limits_{a}^{b}x\cdot f(x)\text dx$

Der Erwartungswert berechnet sich also als Integral über das Produkt der Ergebnisse und der Dichtefunktion der Verteilung.

Beispiel

Die Verspätung einer U-Bahn sei mit folgender Dichtefunktion ($x$ ist die Minute, in der die U-Bahn eintrifft) gegeben

$f(x)=\begin{cases}0{,}8-0{,}32x & \text{ für } & 0\leq x\leq2{,}5\\0 & \text { für } & \text{sonst} \end{cases}$

Daraus ergibt sich für den Erwartungswert dieses Experimentes

$\displaystyle\text E(\text X)=\int\limits_0^{2{,}5}x\cdot f(x)\text{d}x=\int\limits_0^{2{,}5}x\cdot(0{,}8-0{,}32x)\,\text dx=0{,}8\overline{3}$

Das bedeutet, die U-Bahn hat im Schnitt $0{,}8\overline3$ Minuten, das sind $50$ Sekunden, Verspätung.

Rechenregeln

Wichtige Erwartungswerte

Beispielaufgabe