Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße $X$ ordnet jeder reellen Zahl $k$ die Wahrscheinlichkeit zu, mit der $X$ höchstens den Wert $k$ annimmt.

Man schreibt für die Verteilungsfunktion zur Zufallsgröße $X$ :

F_{X} (k) : = P (X \leq k)

Eigenschaften

Rechtsseitig stetig bedeutet, dass der rechtsseitige Grenzwert existiert und gleich dem Funktionswert ist:

\lim_{x \to k} F_{X} (x) = F_{X} (k)

Ein Würfel wird einmal geworfen. Wie wahrscheinlich ist es, dass die Augenzahl kleiner oder gleich 4 ist? Zeichne ein Säulendiagramm für $P (X = k)$ und $F_{X} (k) = P (X \leq k)$ .

Zuerst bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Augenzahlen:

$k$	1	2	3	4	5	6
$P (X = k)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

$P (X \leq 4) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) = \frac{2}{3}$

Blau: $P (X = k)$

Orange: $P (X \leq k)$

Ein Spieler einer Fußballmannschaft wird verletzt. Normalerweise dauert die Genesung zwischen $5$ und $10$ Tagen. Die Zufallsgröße $X$ beschreibe die Anzahl der benötigten Tage für die Heilung. Die Wahrscheinlichkeiten sind gegeben durch:

$k$	$< 5$	5	6	7	8	9	10	$> 10$
$P (X = k)$	0	0,1	0,25	0,31	0,23	0,08	0,03	0

Die Presse möchte wissen, ob der Spieler für das Spiel in $8$ Tagen wieder spielfähig ist.

$P (X \leq 8) = P (X < 5) + P (X = 5) + P (X = 6) + P (X = 7) + P (X = 8) = 0 + 0,1 + 0,25 + 0,31 + 0,23 = 0,89$

Ein Dartspieler trifft das Bullseye mit einer Wahrscheinlichkeit von $40 %$ . Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt er bei $5$ Würfen mehr als $1$ Treffer? Gib außerdem die Verteilungsfunktion an.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die Anzahl der Treffer mit der Binomialverteilung:

$k$	0	1	2	3	4	5
$P (X = k)$	0,07776	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,01024

$P (X > 1) = 1 - P (X \leq 1) = 1 - (P (X = 0) + P (X = 1)) = 1 - P (X = 0) - P (X = 1) = 1 - 0,07776 - 0,2592 = 0,66304$

Die Verteilungsfunktion $F_{X}$ ist gegeben durch:

F_{X} (k) = {\begin{matrix} 0 & für & k < 0 \\ 0,07776 & für & 0 \leq k < 1 \\ 0,33696 & für & 1 \leq k < 2 \\ 0,68256 & für & 2 \leq k < 3 \\ 0,91296 & für & 3 \leq k < 4 \\ 0,98976 & für & 4 \leq k < 5 \\ 1 & für & k \geq 5 \end{matrix}

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