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Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße X ordnet jeder reellen Zahl k die Wahrscheinlichkeit zu, mit der X höchstens den Wert k annimmt.

Man schreibt für die Verteilungsfunktion zur Zufallsgröße X:

FX(k):=P(Xk)
Bild

Eigenschaften

  • P(X>k)=1P(Xk)

  • P(a<Xb)=P(Xb)P(Xa)

  • FX ist monoton wachsend

  • FX ist rechtsseitig stetig

Rechtsseitig stetig bedeutet, dass der rechtsseitige Grenzwert existiert und gleich dem Funktionswert ist:

limxkFX(x)=FX(k)

Beispiele

  1. Ein Würfel wird einmal geworfen. Wie wahrscheinlich ist es, dass die Augenzahl kleiner oder gleich 4 ist? Zeichne ein Säulendiagramm für P(X=k) und FX(k)=P(Xk).

Lösung

Zuerst bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Augenzahlen:

k

1

2

3

4

5

6

P(X=k)

16

16

16

16

16

16

P(X4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=23

Blau: P(X=k)

Orange: P(Xk)

Diagramm
  1. Ein Spieler einer Fußballmannschaft wird verletzt. Normalerweise dauert die Genesung zwischen 5 und 10 Tagen. Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der benötigten Tage für die Heilung. Die Wahrscheinlichkeiten sind gegeben durch:

k

<5

5

6

7

8

9

10

>10

P(X=k)

0

0,1

0,25

0,31

0,23

0,08

0,03

0

Die Presse möchte wissen, ob der Spieler für das Spiel in 8 Tagen wieder spielfähig ist.

Lösung:

P(X8)=P(X<5)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)=0+0,1+0,25+0,31+0,23=0,89

  1. Ein Dartspieler trifft das Bullseye mit einer Wahrscheinlichkeit von 40%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt er bei 5 Würfen mehr als 1 Treffer? Gib außerdem die Verteilungsfunktion an.

Darts

Lösung

Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die Anzahl der Treffer mit der Binomialverteilung:

k

0

1

2

3

4

5

P(X=k)

0,07776

0,2592

0,3456

0,2304

0,0768

0,01024

P(X>1)=1P(X1)=1(P(X=0)+P(X=1))=1P(X=0)P(X=1)=10,077760,2592=0,66304

Die Verteilungsfunktion FX ist gegeben durch:

FX(k)={0 für k<00,07776 für 0k<10,33696 für 1k<20,68256 für 2k<30,91296 für 3k<40,98976 für 4k<51 für k5

Übungsaufgaben

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Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Zufallsgrößen und Verteilungsfunktion

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