Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße $X$ ordnet jeder reellen Zahl $k$ die Wahrscheinlichkeit zu, mit der $X$ höchstens den Wert $k$ annimmt.

Man schreibt für die Verteilungsfunktion zur Zufallsgröße $X$ :

\displaystyle F_X(k):=P(X\le k)

Eigenschaften

Rechtsseitig stetig bedeutet, dass der rechtsseitige Grenzwert existiert und gleich dem Funktionswert ist:

\displaystyle \lim_{x \rightarrow k}{F_X(x)}=F_X(k)

Ein Würfel wird einmal geworfen. Wie wahrscheinlich ist es, dass die Augenzahl kleiner oder gleich 4 ist? Zeichne ein Säulendiagramm für $P (X = k)$ und $F_X(k)=P(X\leq k)$ .

Zuerst bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Augenzahlen:

$k$	1	2	3	4	5	6
$P (X = k)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

$P(X \leq 4) = P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=\frac23$

Blau: $P (X = k)$

Orange: $P(X\leq k)$

Ein Spieler einer Fußballmannschaft wird verletzt. Normalerweise dauert die Genesung zwischen $5$ und $10$ Tagen. Die Zufallsgröße $X$ beschreibe die Anzahl der benötigten Tage für die Heilung. Die Wahrscheinlichkeiten sind gegeben durch:

$k$	$< 5$	5	6	7	8	9	10	$> 10$
$P (X = k)$	0	0,1	0,25	0,31	0,23	0,08	0,03	0

Die Presse möchte wissen, ob der Spieler für das Spiel in $8$ Tagen wieder spielfähig ist.

$P(X \leq 8)= P(X <5) +P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)=0+0{,}1+0{,}25+0{,}31+0{,}23=0{,}89$

Ein Dartspieler trifft das Bullseye mit einer Wahrscheinlichkeit von $40 %$ . Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt er bei $5$ Würfen mehr als $1$ Treffer? Gib außerdem die Verteilungsfunktion an.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die Anzahl der Treffer mit der Binomialverteilung:

$k$	0	1	2	3	4	5
$P (X = k)$	0,07776	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,01024

$P(X>1)=1-P(X\le1)=1-(P(X=0)+P(X=1))=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0{,}07776-0{,}2592=0{,}66304$

Die Verteilungsfunktion $F_{X}$ ist gegeben durch:

\displaystyle F_X(k)=\begin{cases}0 &\text{ für }& k<0 \\ 0{,}07776 &\text{ für }&\mathrm 0 \leq k <1 \\ 0{,}33696 &\text{ für }&\mathrm 1\leq k <2 \\ 0{,}68256 &\text{ für } &\mathrm 2 \leq k <3 \\ 0{,}91296 &\text{ für }& \mathrm 3 \leq k <4 \\0{,}98976 &\text { für }& \mathrm 4 \leq k < 5 \\ 1 &\text{ für }& k \geq 5 \end{cases}

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