Die Verteilungsfunktion einer ZufallsgrößeX ordnet jeder reellen Zahl k die Wahrscheinlichkeit zu, mit der X höchstens den Wert k annimmt.
Man schreibt für die Verteilungsfunktion zur Zufallsgröße X:
Eigenschaften
P(X>k)=1−P(X≤k)
P(a<X≤b)=P(X≤b)−P(X≤a)
FX ist monoton wachsend
FX ist rechtsseitig stetig
Rechtsseitig stetig bedeutet, dass der rechtsseitige Grenzwert existiert und gleich dem Funktionswert ist:
Beispiele
Ein Würfel wird einmal geworfen. Wie wahrscheinlich ist es, dass die Augenzahl kleiner oder gleich 4 ist? Zeichne ein Säulendiagramm für P(X=k) und FX(k)=P(X≤k).
Lösung
Zuerst bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Augenzahlen:
1
2
3
4
5
6
P(X≤4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=32
Blau: P(X=k)
Orange: P(X≤k)
Ein Spieler einer Fußballmannschaft wird verletzt. Normalerweise dauert die Genesung zwischen 5 und 10 Tagen. Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der benötigten Tage für die Heilung. Die Wahrscheinlichkeiten sind gegeben durch:
5
6
7
8
9
10
0
0,1
0,25
0,31
0,23
0,08
0,03
0
Die Presse möchte wissen, ob der Spieler für das Spiel in 8 Tagen wieder spielfähig ist.
Ein Dartspieler trifft das Bullseye mit einer Wahrscheinlichkeit von 40%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt er bei 5 Würfen mehr als 1 Treffer? Gib außerdem die Verteilungsfunktion an.
Lösung
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die Anzahl der Treffer mit der Binomialverteilung:
