Aufgaben zum Erwartungswert

Mit diesen Übungsaufgaben lernst du, statistische Größen, wie den Erwartungswert und zu berechnen!

Zwei 6-seitige Laplace-Würfel werden gleichzeitig geworfen.

Aus der Beispielrechnung der diskreten Zufallsvariablen zum Erwartungswert wissen wir, dass dieser bei 7 liegt

Wie verändert sich der Erwartungswert, wenn man folgende Änderungen vornimmt?

Bestimme den Erwartungswert, wenn man nur einen Würfel verwendet

Bestimme den Erwartungswert, wenn man bei beiden Würfeln die 1 durch eine 7 ersetzt

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Die 1 wird zu einer 7, dadurch verschieben sich die Werte der Zufallsgröße von $\mathit\Omega=\left\{2{,}3,4{,}5,6{,}7,8{,}9,10{,}11{,}12\right\}$ zu $\mathit\Omega=\left\{4{,}5,6{,}7,8{,}9,10{,}11{,}12{,}13{,}14\right\}$
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array} {c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c}x & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14\\\hline \text P(\text X = x) & \frac{1}{36} & \frac{2} {36} & \frac{3}{36} & \frac{4}{36} & \frac{5}{36} & \frac{6}{36} & \frac{5}{36} & \frac{4}{36} & \frac{3}{36} & \frac{2}{36} & \frac{1}{36}\end{array}$
Damit ergibt der Erwartungswert für dieses Experiment.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{c c l} \text E(\text X)& = & 4\cdot\frac{1}{36}+5\cdot\frac{2}{36}+6\cdot\frac{3}{36}+7\cdot\frac{4}{36}+8\cdot\frac{5}{36}+9\cdot\frac{6}{36}\\ & & +\,10\cdot\frac{5}{36}+11\cdot\frac{4}{36}+12\cdot\frac{3}{36}+13\cdot\frac{2}{36}+14\cdot\frac{1}{36}\\ & = & 9\end{array}$
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Ein Würfel wird 15 mal geworfen. Wie lauten die Erwartungswerte für folgende Ereignisse:

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Es handelt sich hierbei um eine Bernoulli-Kette. Der Erwartungswert einer Bernoulli-Kette beträgt $n\cdot p$ . Hier ist $n = 15$ und $p$ die Wahrscheinlichkeit:
1) p bei einem einzelnen Wurf eine 3 zu werfen liegt bei $\frac16$ .
$\Rightarrow E(X)=15\cdot\frac16=\frac{15}{6}=2{,}5$
2) p bei einem einzelnen Wurf mindestens eine 4 zu werfen liegt bei $\frac36 = \frac12$ .
$\Rightarrow E(X)=15\cdot\frac12=\frac{15}{2}=7{,}5$
3) p bei einem einzelnen Wurf höchstens eine 4 zu werfen liegt bei $\frac46 = \frac23$ .
$\Rightarrow E(X)=15\cdot\frac23=\frac{30}{3}= 10$
4) Um einen Erwartungswert von $12,5$ zu erhalten, benötigt man die
Wahrscheinlichkeit p von einem einzelnen Wurf:
$\Rightarrow p = \frac{E(X)}{X} = \frac{12{,}5}{15} = \frac56$
Nun benötigen wir ein Ereignis, welches in $\frac56$ der Fälle eintritt.
In unserem Beispiel wäre das, dass man höchstens eine 5 würfelt
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2
Auf einem Jahrmarkt gibt es einen Stand mit Losen. In einer Lostrommel befinden sich 10 Lose, unter denen 6 Gewinnlose und 4 Nieten sind. Berechne für 5-maliges Ziehen eines Loses, wobei die Lose nicht zurückgelegt werden, den Erwartungswert für
die Zufallsgröße $X$ : "Anzahl der Gewinnlose"
die Zufallsgröße $Y$ : "Anzahl der Nieten"
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert bestimmen
Teilaufgabe 1
$X$ : Anzahl der Gewinnlose unter den 5 gezogenen Losen.
Gesucht: Erwartungswert $E (X)$
Für den Erwartungswert einer (diskreten) Zufallgröße gibt es eine Formel, bei der
alle vorkommenden Werte von $X$ jeweils mit ihrer Wahrscheinlichkeit multipliziert werden,
und dann alle diese Produkte addiert werden.
Das heißt: Du brauchst jetzt als erstes die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ .
Überlege dir dazu zunächst das richtige Modell für diese Aufgabe, d. h.:
mit oder ohne Zurücklegen?
mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge?
Urnenmodell für diese Aufgabe:
Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge
aus einer Urne mit insgesamt 10 Kugeln (bzw. Losen), von denen 6 Kugeln schwarz sind (bzw. 6 Lose Gewinnlose sind).
Wenn du jetzt das richtige Modell gefunden hast, kannst du die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen:
Für das Modell "Ziehen von n Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Urne mit S schwarzen und N-S weißen Kugeln" gilt die Formel der hypergeometrischen Verteilung:
$\displaystyle P(X=k)=\frac{\begin{pmatrix}S\\k\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}N-S\\n-k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N\\n\end{pmatrix}}$
für die Wahrscheinlichkeit, genau k schwarze Kugeln zu erhalten.
Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten
$P(X=0)=\frac{\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{1\cdot 0}{252}=0$
$P(X=1)=\frac{\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{6\cdot 1}{252}=\frac{6}{252}=\frac{1}{42}$
$P(X=2)=\frac{\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{15\cdot 4}{252}=\frac{60}{252}=\frac{5}{21}$
$P(X=3)=\frac{\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{20\cdot 6}{252}=\frac{120}{252}=\frac{10}{21}$
$P(X=4)=\frac{\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{15\cdot 4}{252}=\frac{60}{252}=\frac{5}{21}$
$P(X=5)=\frac{\begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{6\cdot 1}{252}=\frac{6}{252}=\frac{1}{42}$
Tabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung:
k
0
1
2
3
4
5
P(X=k)
0
$\frac{6}{252}$
$\frac{60}{252}$
$\frac{120}{252}$
$\frac{60}{252}$
$\frac{6}{252}$
Der Erwartungswert ist also: $E(X)=0+1\cdot\frac{6}{252}+2\cdot\frac{60}{252}+3\cdot\frac{120}{252}+4\cdot\frac{60}{252}+5\cdot\frac{6}{252}=\frac{756}{252}=3$
Erwartet wird also, dass man auf lange Sicht im Durchschnitt 3 Gewinnlose unter den 5 Losen zieht.
Teilaufgabe 2
$Y$ : Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen.
Gesucht: Erwartungswert $E (Y)$
Möglichkeit 1:
Wenn du Teilaufgabe 1 bereits gelöst hast, kannst du den Erwartungswert $E (Y)$ sehr schnell so bestimmen:
$E (Y) = ?$
Da $X$ die Anzahl der Gewinnlose und $Y$ die Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen ist, muss $X + Y$ stets gleich 5 sein.
Entsprechend gilt das auch für die Erwartungswerte.
$E (X) + E (Y) = 5$
Diese Gleichung kannst du nun ganz einfach nach $E (Y)$ umstellen,
$E (Y) = 5 - E (X)$
und dann $E (X) = 3$ einsetzen.
$E (Y) = 5 - 3 = 2$
Möglichkeit 2:
Zur Kontrolle - oder wenn du Teilaufgabe 1 nicht verwenden willst - kannst du das Ergebnis auch noch einmal unabhängig vom Ergebnis von Teilaufgabe 1 ausrechnen. Das geht nach der gleichen Methode wie die Rechnung bei Teilaufgabe 1:
$Y$ : Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen.
Gesucht: Erwartungswert $E (Y)$
Damit hast du festgelegt, was $Y$ ist,
und brauchst für die Berechnung des Erwartungswertes von $Y$ jetzt wiederum die Formel für den Erwartungswert
$E(Z)= \sum^{n}_{i=1} z_i \cdot P(Z=z_i)$
und dazu die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ .
Überlege dir dazu wieder das geeignete Modell.
Urnenmodell für diese Aufgabe:
Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge
aus einer Urne mit insgesamt 10 Kugeln (bzw. Losen), von denen 4 Kugeln schwarz sind (bzw. 4 Lose Nieten sind).
Das ist ganz entsprechend wie bei Teilaufgabe 1.
Verwende nun wieder (genauso wie bei Teilaufgabe 1), dass für das Modell "Ziehen von n Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Urne mit S schwarzen und N-S weißen Kugeln"
die Formel der hypergeometrischen Verteilung gilt:
$\displaystyle P(X=k)=\frac{\begin{pmatrix}S\\k\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}N-S\\n-k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N\\n\end{pmatrix}}$
Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten.
$P(Y=0)=\frac{\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{1\cdot 6}{252}=\frac{6}{252}=\frac{1}{42}$
$P(Y=1)=\frac{\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{4\cdot 15}{252}=\frac{60}{252}=\frac{5}{21}$
$P(Y=2)=\frac{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{6\cdot 20}{252}=\frac{120}{252}=\frac{10}{21}$
$P(Y=3)=\frac{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{4\cdot 15}{252}=\frac{60}{252}=\frac{5}{21}$
$P(Y=4)=\frac{\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{1\cdot 6}{252}=\frac{6}{252}=\frac{1}{42}$
$P(Y=5)=\frac{\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{0\cdot 1}{252}=0$
Tabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung:
k
0
1
2
3
4
5
P(Y=k)
$\frac{6}{252}$
$\frac{60}{252}$
$\frac{120}{252}$
$\frac{60}{252}$
$\frac{6}{252}$
0
Der Erwartungswert ist also: $E(Y)=0+1\cdot\frac{60}{252}+2\cdot\frac{120}{252}+3\cdot\frac{60}{252}+4\cdot\frac{6}{252}+5\cdot0=2$
Erwartet wird also, dass man auf lange Sicht im Durchschnitt 2 Nieten unter den 5 Losen erhält.
3
Bei einem Spiel mit einem Einsatz von 1 Euro wird ein Würfel zweimal geworfen. Der Spieler gewinnt 2 Euro, falls beide Würfel die gleiche Augenzahl zeigen. Berechne den erwartenden Gewinn/Verlust des Spielers.
€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Um den Erwartungswert zu berechnen, wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung benötigt: Die Zufallsvariable X beschreibt den Gewinn des Spielers in €. Bei diesem Spiel kann die Zufallsvariable die Werte 1 oder -2 annehmen.
$k$
$- 1$
$2$
$P (X = k)$
$\frac{5}{6}$
$\frac16$
Der Erwartungswert wird dann wie folgt berechnet: $E(X)=-1\cdot\frac{5}{6}+2\cdot\frac{1}{6}=-\frac{1}{2}=-0{,}5$
Der durchschnittliche Verlust eines Spielers beträgt also 50 Cent.
4
Ein Marmeladenbrot fällt in 60% aller Fälle auf die geschmierte Seite. Berechne die zu erwartende Anzahl an Marmeladenbroten, die auf die belegte Seite fallen, wenn man 3 Brote fallen lässt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Es handelt sich hierbei um eine Bernoulli-Kette. Der Erwartungswert einer Bernoulli-Kette beträgt n⋅p. Hier ist n=3 und p = 0,6 die Wahrscheinlichkeit auf die belegte Seite zu fallen.
⇒ $E(X)= n \cdot p \ = 3 \cdot 0{,}6=1{,}8$
Alternative Lösung
Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Brote, die auf die belegte Seite fallen. X ist binomialverteilt.
k
0
1
2
3
P(X=k)
0,064
0,288
0,432
0,216
Der Erwartungswert berechnet sich wie folgt:
$E(X)= 0 \cdot 0{,}064+1 \cdot 0{,}288+ 2 \cdot 0{,}432+ 3 \cdot 0{,}216=1{,}8$
5
In einer Urne befinden sich $10$ Lose, wobei es sich bei $6$ Losen um "Gewinne" und bei dem Rest um "Nieten" handelt.
Der Spieler zieht immer drei Lose ohne zurücklegen aus der Urne.
Runde auf 2 Nachkommastellen.
1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit in Prozent zieht der Spieler keine "Niete" ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
  Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen. Keine "Niete" bedeutet in diesem Fall "Gewinn".
  Daher ist die Wahrscheinlichkeit für das erste Los einen "Gewinn" zu ziehen
  $\frac{6}{10}$ , für das zweite $\frac{5}{9}$ und für das dritte $\frac48$
  Um die Gewinnwahrscheinlichkeit auszurechnen, musst du diese Wahrscheinlichkeiten multiplizieren:
  $\mathrm{P(Keine~"Niete")}=\frac{6}{10}\cdot\frac{5}{9}\cdot\frac{4}{8}=\frac{120}{720}=\frac{1}{6}\approx16{,}67\%$
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2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit in Prozent zieht der Spieler mindestens einen "Gewinn" ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis
  Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Mal keinen Gewinn zu ziehen, beträgt $\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ . Beim zweiten Mal sind noch $3$ Nieten unter den neun Losen, daher ist die Wahrscheinlichkeit $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$ .
  Beim dritten Mal ist die Wahrscheinlichkeit, keinen Gewinn zu ziehen $\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$ .
  Die Wahrscheinlichkeit, keinen Gewinn zu ziehen, ist daher
  $\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{2}{60}=\frac{1}{30}\approx0{,}033\%$
  Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Gewinn ist daher
  $P(x)=1-\frac{1}{30}=\frac{29}{30}\approx0{,}9666\approx96{,}7\%$ .
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  Benutze das Gegenereignis "Der Spieler zieht keinen Gewinn"
3. Der Glücksspielanbieter überlegt sich jetzt folgende Spielregeln:
  Ein Spiel (drei Lose) kosten $2 €$ .
  Für jedes Los mit der Aufschrift "Gewinn" gewinnt man $1 €$ .
  Welchen Erwartungswert in Bezug auf den Gewinn hat das Spiel? Gib den Betrag ohne das Euro-Zeichen ein.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  $E(X)=0~€\cdot P(0G)+1~€\cdot P(1G)+2~€\cdot P(2G)+3~€\cdot P(3G)\\~~~~~~~~~~~= 0~€\cdot\frac{4}{10}\cdot\frac39\cdot\frac28~+1~€\cdot\binom31\cdot\frac{6}{10}\cdot\frac49\cdot\frac38~+ 2~€\cdot\binom32\frac{6}{10}\cdot\frac59\cdot\frac48~+3~€\cdot\frac{6}{10}\cdot\frac59\cdot\frac48\\~~~~~~~~~~~=0~€\cdot\frac{24}{720}~+1~€\cdot3\cdot\frac{72}{720}~+2~€\cdot3\cdot\frac{120}{720}~+3~€\cdot\frac{120}{720}\\~~~~~~~~~~~=\frac{0}{720}~€~+\frac{216}{720}~€~+\frac{720}{720}~€~+\frac{360}{720}~€~=\frac{1296}{720}~€~=1{,}80~€$
  Der Erwartungswert des Gewinns pro Spiel liegt also bei $1,80 €$
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4. Dieses Spiel ist unfair! Das bedeutet, dass entweder der Spieler oder der Betreiber einen Vorteil gegenüber dem anderen hat. Welche Partei liegt bei diesem Spiel im Vorteil und warum?
5. Wie hoch muss der Gewinn sein, wenn man drei "Gewinne" zieht damit dieses Spiel fair wird, also keine Partei einen Vorteil hat? Die Gewinne bei einem oder zwei Losen mit "Gewinn" bleiben dabei unverändert. Gib nur die Zahl ohne das Eurozeichen ein.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
  Das Spiel ist dann fair, wenn der erwartete Gewinn des Spielers $2 €$ ist. Denn in diesem Fall erhält der Spieler seinen Einsatz von $2 €$ zurück und macht keinen Verlust, genauso wie der Anbieter des Spieles.
  Um den neuen Erwartungswert auszurechnen, braucht man nur den Fall betrachten, dass der Spieler dreimal "Gewinn" zieht. In den anderen Fällen ist der Gewinn schon vorgegeben. Nach der Formel für den Erwartungswert gilt dann:
  $E(X)~=2~€~=~0~€\cdot P(0G)+1~€\cdot P(1G)+2~€\cdot P(2G)+X~€\cdot P(3G)\\~~~~~\rightarrow~~~~~~2~€~= \frac{0}{720}~€~+\frac{216}{720}~€~+\frac{720}{720}~€~+X\frac{120}{720}~€~~~~|-(\frac{216}{720}+\frac{720}{720})\\~~~~~\rightarrow~0{,}70~€~=~X\frac{120}{720}€~~~~|\cdot\frac{720}{120}\\~~~~~\rightarrow~4{,}20~€~=~X~€$
  Der Gewinn bei drei "Gewinn"-Losen muss also $4,20 €$ betragen, damit es sich um ein faires Spiel handelt
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  Bestimme den Erwartungswert so, dass es dem Einsatz entspricht.

k	0	1	2	3	4	5
P(X=k)	0	$\frac{6}{252}$	$\frac{60}{252}$	$\frac{120}{252}$	$\frac{60}{252}$	$\frac{6}{252}$

k	0	1	2	3	4	5
P(Y=k)	$\frac{6}{252}$	$\frac{60}{252}$	$\frac{120}{252}$	$\frac{60}{252}$	$\frac{6}{252}$	0

$k$	$- 1$	$2$
$P (X = k)$	$\frac{5}{6}$	$\frac16$

k	0	1	2	3
P(X=k)	0,064	0,288	0,432	0,216

In einem Freizeitpark wird folgendes Glücksspiel angeboten. In einer Urne befinden sich 10 Lose, wobei sich auf 5 Losen der Aufdruck "Niete" und auf dem Rest der Aufdruck "Gewinn" befindet. Gegen einen Einsatz von $2 €$ kann ein Spieler an folgendem Gewinnspiel teilnehmen: Der Spieler zieht aus der Urne ein Los, zieht er "Gewinn", darf er erneut ziehen, zieht er Niete, hat er sofort verloren. Um zu gewinnen, muss er insgesamt dreimal "Gewinn" ziehen. Den Gewinn in Höhe von $8 €$ erhält er, wenn seine drei Gewinnerlose an der Kasse des Freizeitparks abgibt.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt der Spieler? Runde auf eine Stelle nach dem Komma.
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Der Spieler gewinnt nur, falls er dreimal hintereinander "Gewinn" zieht. Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen, da der Spieler am Ende des Spieles seine drei Gewinnerlose vorzeigen muss. Daher ist die Wahrscheinlichkeit beim ersten Zug einen "Gewinn" zu ziehen $\frac{5}{10}$ , beim zweiten Zug $\frac{4}{9}$ und beim dritten Zug $\frac3{8}$ . Um die Gewinnwahrscheinlichkeit auszurechnen, musst du diese Wahrscheinlichkeiten multiplizieren:
$\mathrm{P("Gewinn")}=\frac{5}{10}\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{3}{8}=\frac{60}{720}=\frac{1}{12}\approx 8{,}3\%$
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Wie hoch muss der Gewinn sein, damit es sich um ein faires Spiel handelt?

€

7
Auf einem Jahrmarkt gibt es einen Stand mit Losen. In einer Lostrommel befinden sich 10 Lose, unter denen 6 Gewinnlose und 4 Nieten sind. Berechne für 5-maliges Ziehen eines Loses, wobei die Lose nicht zurückgelegt werden, den Erwartungswert für
1. die Zufallsgröße $X$ : "Anzahl der Gewinnlose"
  =E(X)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert bestimmen
  $X$ : Anzahl der Gewinnlose unter den 5 gezogenen Losen.
  Gesucht: Erwartungswert $E (X)$
  Für den Erwartungswert einer (diskreten) Zufallgröße gibt es eine Formel, bei der
  alle vorkommenden Werte von $X$ jeweils mit ihrer Wahrscheinlichkeit multipliziert werden,
  und dann alle diese Produkte addiert werden.
  Das heißt: Du brauchst jetzt als erstes die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ .
  Überlege dir dazu zunächst das richtige Modell für diese Aufgabe, d. h.:
  mit oder ohne Zurücklegen?
  mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge?
  Urnenmodell für diese Aufgabe:
  Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge
  aus einer Urne mit insgesamt 10 Kugeln (bzw. Losen), von denen 6 Kugeln schwarz sind (bzw. 6 Lose Gewinnlose sind).
  Wenn du jetzt das richtige Modell gefunden hast, kannst du die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen: Für das Modell "Ziehen von $n$ Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Urne mit $S$ schwarzen und $N - S$ weißen Kugeln" gilt die Formel der hypergeometrischen Verteilung: $P(X=k)=\frac{\begin{pmatrix}S\\k\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}N-S\\n-k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N\\n\end{pmatrix}}$ für die Wahrscheinlichkeit, genau $k$ schwarze Kugeln zu erhalten. Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten $P(X=0)=\frac{\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{1\cdot 0}{252}=0$ $P(X=1)=\frac{\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{6\cdot 1}{252}=\frac{6}{252}=\frac{1}{42}$ $P(X=3)=\frac{\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{20\cdot 6}{252}=\frac{120}{252}=\frac{10}{21}$ $P(X=4)=\frac{\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{15\cdot 4}{252}=\frac{60}{252}=\frac{5}{21}$ $P(X=5)=\frac{\begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{6\cdot 1}{252}=\frac{6}{252}=\frac{1}{42}$ Tabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung:
  k
  0
  1
  2
  3
  4
  5
  P(X=k)
  0
  $\frac{6}{252}$
  $\frac{60}{252}$
  $\frac{120}{252}$
  $\frac{60}{252}$
  $\frac{6}{252}$
  Der Erwartungswert ist also: $E(X)=0+1\cdot\frac{6}{252}+2\cdot\frac{60}{252}+3\cdot\frac{120}{252}+4\cdot\frac{60}{252}+5\cdot\frac{6}{252}=\frac{756}{252}=3$
  Erwartet wird also, dass man auf lange Sicht im Durchschnitt 3 Gewinnlose unter den 5 Losen zieht.
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2. die Zufallsgröße $Y$ : "Anzahl der Nieten"
  =E(Y)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert bestimmen
  $Y$ : Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen. Gesucht: Erwartungswert $E (Y)$
  Möglichkeit 1:
  Wenn du Teilaufgabe 1 bereits gelöst hast, kannst du den Erwartungswert $E (Y)$ sehr schnell so bestimmen:
  $E (Y) = ?$
  Da $X$ die Anzahl der Gewinnlose und $Y$ die Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen ist, muss $X + Y$ stets gleich 5 sein.
  Entsprechend gilt das auch für die Erwartungswerte.
  $E (X) + E (Y) = 5$
  Diese Gleichung kannst du nun ganz einfach nach $E (Y)$ umstellen,
  $E (Y) = 5 - E (X)$
  und dann $E (X) = 3$ einsetzen.
  $E (Y) = 5 - 3 = 2$
  Möglichkeit 2:
  Zur Kontrolle - oder wenn du Teilaufgabe 1 nicht verwenden willst - kannst du das Ergebnis auch noch einmal unabhängig vom Ergebnis von Teilaufgabe 1 ausrechnen. Das geht nach der gleichen Methode wie die Rechnung bei Teilaufgabe 1:
  $Y$ : Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen.
  Gesucht: Erwartungswert $E (Y)$
  Urnenmodell für diese Aufgabe:
  Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge
  aus einer Urne mit insgesamt 10 Kugeln (bzw. Losen), von denen 4 Kugeln schwarz sind (bzw. 4 Lose Nieten sind). Das ist ganz entsprechend wie bei Teilaufgabe 1. Verwende nun wieder (genauso wie bei Teilaufgabe 1), dass für das Modell "Ziehen von n Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Urne mit $S$ schwarzen und $N - S$ weißen Kugeln" die Formel der hypergeometrischen Verteilung gilt: $P(X=k)=\frac{\begin{pmatrix}S\\k\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}N-S\\n-k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N\\n\end{pmatrix}}$ Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten. $P(Y=0)=\frac{\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{1\cdot 6}{252}=\frac{6}{252}=\frac{1}{42}$ $P(Y=1)=\frac{\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{4\cdot 15}{252}=\frac{60}{252}=\frac{5}{21}$ $P(Y=3)=\frac{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{4\cdot 15}{252}=\frac{60}{252}=\frac{5}{21}$ $P(Y=4)=\frac{\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{1\cdot 6}{252}=\frac{6}{252}=\frac{1}{42}$ $P(Y=5)=\frac{\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{0\cdot 1}{252}=0$ Tabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung:
  k
  0
  1
  2
  3
  4
  5
  P(Y=k)
  $\frac{6}{252}$
  $\frac{60}{252}$
  $\frac{120}{252}$
  $\frac{60}{252}$
  $\frac{6}{252}$
  0
  Der Erwartungswert ist also: $E(Y)=0+1\cdot\frac{60}{252}+2\cdot\frac{120}{252}+3\cdot\frac{60}{252}+4\cdot\frac{6}{252}+5\cdot0=2$
  Erwartet wird also, dass man auf lange Sicht im Durchschnitt 2 Nieten unter den 5 Losen erhält.
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k	0	1	2	3	4	5
P(X=k)	0	$\frac{6}{252}$	$\frac{60}{252}$	$\frac{120}{252}$	$\frac{60}{252}$	$\frac{6}{252}$

k	0	1	2	3	4	5
P(Y=k)	$\frac{6}{252}$	$\frac{60}{252}$	$\frac{120}{252}$	$\frac{60}{252}$	$\frac{6}{252}$	0

Ein Spielautomat ist so programmiert, dass er in 5% der Fälle einen Gewinn an die Spieler ausschütten soll. Tritt dieser unwahrscheinliche Fall ein, so werden 10 € ausgezahlt. Der Betreiber möchte pro Spiel durchschnittlich 50 Cent erwirtschaften. Bestimmen Sie den Einsatz, den er verlangen muss.

€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert

Die Situation aus Betreibersicht

Der Betreiber nimmt mit jedem verlorenen Spiel x € Einsatz vom Spieler ein. Gewinnt der Spieler, so hat der Betreiber einen Verlust von 10-x €.

Als Tabelle lässt sich die Zufallsgröße G wie folgt darstellen:

$g_{i}$	+x€	+x-10 €
$P\left(G=g_i\right)$	0,95	0,05

Einsatz mithilfe des Erwartungswertes bestimmen

Durchschnittlich möchte der Betreiber 50 ct Gewinn pro Spiel machen. Der Erwartungswert aus Betreibersicht ist also $\mu_G=0{,}5\ €$

Setze den Term zur Berechnung des Erwartungswertes mit diesem Wert gleich
	↓
$\displaystyle E\left(G\right)$	$=$	$\displaystyle \sum_{g_i\in G}^{ }g_i\cdot P\left(G=g_i\right)$
$\displaystyle 0{,}5\ \ €$	$=$	$\displaystyle 0{,}95x+\left(x-10€\right)\cdot0{,}05$
$\displaystyle 0{,}5\ €$	$=$	$\displaystyle 0{,}95x+0{,}05x-0{,}5€$	$\displaystyle +0{,}5\ €$
$\displaystyle 1\ €$	$=$	$\displaystyle x$

Der Betreiber muss 1 € Einsatz verlangen, um durchschnittlich 50 ct Gewinn zu machen.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle E(X)$	$=$	$\displaystyle \sum\limits_{k\in \mathit\Omega} k \cdot P(X=k)$
	↓	Setze die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle 1\cdot \frac16 + 2\cdot \frac16 + 3\cdot \frac16 + 4\cdot \frac16 + 5\cdot \frac16 + 6\cdot \frac16$
	↓	Klammere aus und vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \frac16 \cdot (1+2+3+4+5+6)$
	$=$	$\displaystyle \frac16 \cdot 21$
	$=$	$\displaystyle 3{,}5$

$\displaystyle E\left(X\right)$	$=$	$\displaystyle 0\cdot P(X=0)+y\cdot P(X=y)$
	↓	$ P (X = y)$ ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn, sie wurde in Teilaufgabe $1$ berechnet.
	$=$	$\displaystyle y\cdot\frac{1}{12}$
	↓	Setze den Erwartungswert gleich 2 und löse nach y auf.
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle y\cdot\frac{1}{12}$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 24$

Aufgaben zum Erwartungswert

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Teilaufgabe 1

Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten

Teilaufgabe 2

Möglichkeit 1:

Möglichkeit 2:

Alternative Lösung

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Möglichkeit 1:

Möglichkeit 2:

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Die Situation aus Betreibersicht

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