$X$: Anzahl der Gewinnlose unter den 5 gezogenen Losen.

Gesucht: Erwartungswert $E(X)$

Für den Erwartungswert einer (diskreten) Zufallgröße gibt es eine Formel, bei der

• alle vorkommenden Werte von $X$ jeweils mit ihrer Wahrscheinlichkeit multipliziert werden,

• und dann alle diese Produkte addiert werden.

Das heißt: Du brauchst jetzt als erstes die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$.

Überlege dir dazu zunächst das richtige Modell für diese Aufgabe, d. h.:

• mit oder ohne Zurücklegen?

• mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge?

Urnenmodell für diese Aufgabe:

• Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge

• aus einer Urne mit insgesamt 10 Kugeln (bzw. Losen), von denen 6 Kugeln schwarz sind (bzw. 6 Lose Gewinnlose sind).

Wenn du jetzt das richtige Modell gefunden hast, kannst du die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen: Für das Modell "Ziehen von $n$ Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Urne mit $S$ schwarzen und $N-S$ weißen Kugeln" gilt die Formel der hypergeometrischen Verteilung: $P(X=k)=\frac{\begin{pmatrix}S\\k\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}N-S\\n-k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N\\n\end{pmatrix}}$ für die Wahrscheinlichkeit, genau $k$ schwarze Kugeln zu erhalten. Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten $P(X=0)=\frac{\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{1\cdot 0}{252}=0$ $P(X=1)=\frac{\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{6\cdot 1}{252}=\frac{6}{252}=\frac{1}{42}$ $P(X=3)=\frac{\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{20\cdot 6}{252}=\frac{120}{252}=\frac{10}{21}$ $P(X=4)=\frac{\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{15\cdot 4}{252}=\frac{60}{252}=\frac{5}{21}$ $P(X=5)=\frac{\begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{6\cdot 1}{252}=\frac{6}{252}=\frac{1}{42}$ Tabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung:

Der Erwartungswert ist also: $E(X)=0+1\cdot\frac{6}{252}+2\cdot\frac{60}{252}+3\cdot\frac{120}{252}+4\cdot\frac{60}{252}+5\cdot\frac{6}{252}=\frac{756}{252}=3$

Erwartet wird also, dass man auf lange Sicht im Durchschnitt 3 Gewinnlose unter den 5 Losen zieht.

$Y$: Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen. Gesucht: Erwartungswert $E(Y)$

Möglichkeit 1:

Wenn du Teilaufgabe 1 bereits gelöst hast, kannst du den Erwartungswert $E(Y)$ sehr schnell so bestimmen:

$E(Y)=?$

Da $X$ die Anzahl der Gewinnlose und $Y$ die Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen ist, muss $X+Y$ stets gleich 5 sein.

Entsprechend gilt das auch für die Erwartungswerte.

$E(X)+E(Y)=5$

Diese Gleichung kannst du nun ganz einfach nach $E(Y)$ umstellen,

$E(Y)=5-E(X)$

und dann $E(X)= 3$ einsetzen.

$E(Y)=5-3=2$

Möglichkeit 2:

Zur Kontrolle - oder wenn du Teilaufgabe 1 nicht verwenden willst - kannst du das Ergebnis auch noch einmal unabhängig vom Ergebnis von Teilaufgabe 1 ausrechnen. Das geht nach der gleichen Methode wie die Rechnung bei Teilaufgabe 1:

$Y$: Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen.

Gesucht: Erwartungswert $E(Y)$

Urnenmodell für diese Aufgabe:

• Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge

• aus einer Urne mit insgesamt 10 Kugeln (bzw. Losen), von denen 4 Kugeln schwarz sind (bzw. 4 Lose Nieten sind). Das ist ganz entsprechend wie bei Teilaufgabe 1. Verwende nun wieder (genauso wie bei Teilaufgabe 1), dass für das Modell "Ziehen von n Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Urne mit $S$ schwarzen und $N-S$ weißen Kugeln" die Formel der hypergeometrischen Verteilung gilt: $P(X=k)=\frac{\begin{pmatrix}S\\k\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}N-S\\n-k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N\\n\end{pmatrix}}$ Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten. $P(Y=0)=\frac{\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{1\cdot 6}{252}=\frac{6}{252}=\frac{1}{42}$ $P(Y=1)=\frac{\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{4\cdot 15}{252}=\frac{60}{252}=\frac{5}{21}$ $P(Y=3)=\frac{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{4\cdot 15}{252}=\frac{60}{252}=\frac{5}{21}$ $P(Y=4)=\frac{\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{1\cdot 6}{252}=\frac{6}{252}=\frac{1}{42}$ $P(Y=5)=\frac{\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\5-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=\frac{0\cdot 1}{252}=0$ Tabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung:

Der Erwartungswert ist also: $E(Y)=0+1\cdot\frac{60}{252}+2\cdot\frac{120}{252}+3\cdot\frac{60}{252}+4\cdot\frac{6}{252}+5\cdot0=2$

Erwartet wird also, dass man auf lange Sicht im Durchschnitt 2 Nieten unter den 5 Losen erhält.