Aufgaben zum Erwartungswert - lernen mit Serlo!

Ein Spielautomat ist so programmiert, dass er in 5% der Fälle einen Gewinn an die Spieler ausschütten soll. Tritt dieser unwahrscheinliche Fall ein, so werden 10 € ausgezahlt. Der Betreiber möchte pro Spiel durchschnittlich 50 Cent erwirtschaften. Bestimmen Sie den Einsatz, den er verlangen muss.

€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert

Die Situation aus Betreibersicht

Der Betreiber nimmt mit jedem verlorenen Spiel x € Einsatz vom Spieler ein. Gewinnt der Spieler, so hat der Betreiber einen Verlust von 10-x €.

Als Tabelle lässt sich die Zufallsgröße G wie folgt darstellen:

$g_i$	+x€	+x-10 €
$P\left(G=g_i\right)$	0,95	0,05

Einsatz mithilfe des Erwartungswertes bestimmen

Durchschnittlich möchte der Betreiber 50 ct Gewinn pro Spiel machen. Der Erwartungswert aus Betreibersicht ist also $\mu_G=0{,}5\ €$

Setze den Term zur Berechnung des Erwartungswertes mit diesem Wert gleich
	↓
$\displaystyle E\left(G\right)$	$=$	$\displaystyle \sum_{g_i\in G}^{ }g_i\cdot P\left(G=g_i\right)$
$\displaystyle 0{,}5\ \ €$	$=$	$\displaystyle 0{,}95x+\left(x-10€\right)\cdot0{,}05$
$\displaystyle 0{,}5\ €$	$=$	$\displaystyle 0{,}95x+0{,}05x-0{,}5€$	$\displaystyle +0{,}5\ €$
$\displaystyle 1\ €$	$=$	$\displaystyle x$

Der Betreiber muss 1 € Einsatz verlangen, um durchschnittlich 50 ct Gewinn zu machen.

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